Considere a função f   : R   →   R dada por:

f x = x 5 5 - x 4 2 - 3 x 3 + 5

  1. Determine, caso exista(m):
  2. (a.1) O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f .

    (a.2) O(s) ponto(s) de máximo local e de mínimo local de f .

    (a.3) O(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.

    (a.4) O(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f .

    b) Faça um esboço do gráfico de f indicando explicitamente o(s) ponto(s) de máximo, de mínimo e de inflexão determinado(s) nos itens anteriores. Esboce também a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f no(s) ponto(s) em que a derivada é zero e no(s) ponto(s) de inflexão.

    Passo 1

    (a.1) Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da derivada de f . Então vamos começar derivando a função:

    f ' x = x 4 - 2 x 3 - 9 x 2 = x 2 ( x 2 - 2 x - 9 )

    f ' ( x ) depende apenas de x 2 - 2 x - 9 , pois x 2 é sempre positivo. Como x 2 - 2 x - 9 é uma parábola de concavidade pra cima que corta eixo x em x = 1 - √ 10 e   x = 1   +   √ 10 , ocorre o seguinte:

    Assim:

    Intervalo de crescimento de f : - ∞ ,   1 - 10 ∪ [ 1 + 10 , + ∞ )

    Intervalo de decrescimento de f : 1 - 10 , 1 + 10    

    Passo 2

    (a.2) Vamos achar os pontos críticos para podermos determinar os máximos e mínimos locais, se existirem.

    f ' x = 0

    x 2 x 2 - 2 x - 9 = 0

    x = 0 ,   x =   1 - 10 ,   x = 1 + 10

    A próxima etapa é fazer o Teste da Primeira ou da Segunda derivada. Nesse caso, já que temos o gráfico do item anterior pra ajudar, vamos fazer o Teste da Primeira Derivada, ou seja, analisar o sinal da derivada perto dos pontos críticos. Olha só:

  • Em x =   1 - 10 a derivada muda de positiva para negativa, logo esse é um ponto de máximo local
  • Em x = 0 o sinal da derivada não muda, logo não é nem máximo nem mínimo local
  • Em x = 1 + 10 a derivada muda de negativa para positiva, logo esse é um ponto de mínimo local

Passo 1

(a.3) Temos que saber onde a função é côncava pra cima ou côncava pra baixo. Como que isso é feito? Analisando o sinal da segunda derivada. Então vamos com calma, primeiro temos que derivar f ' ( x ) :

f ' ' x = 4 x 3 - 6 x 2 - 18 x = 2 x ( 2 x 2 - 3 x - 9 )

Agora partiu encontrar as raízes desse polinômio!

2 x 2 x 2 - 3 x - 9 = 0

x = - 3 2 , x = 0 ,   x = 3

E finalmente, vamos estudar os sinais:

Nos intervalos em que a segunda derivada é positiva, a função é côncava pra cima. Já nos intervalos em que a segunda derivada é negativa, a função é côncava pra baixo.

Então, nos intervalos - 3 2 ,   0 e 3 , + ∞ ) a função é côncava pra cima e nos intervalos ( - ∞ ,   - 3 2 e 0 ,   3 a função é côncava pra baixo.

Passo 2

(a.4) Os pontos de inflexão são aqueles em que a função muda de concavidade, certo? Como vimos no item anterior, para a função f isso ocorre quando

x = - 3 2 , x = 0 ,   x = 3

Então, os pontos de inflexão são:

- 3 2 ,   f ( - 3 2 ) ,   0 ,   f ( 0 )   e   3 , f ( 3 )

Passo 3

  • Ufaaa! Ta quase acabando, só temos que determinar o domínio e descobrir se a função tem assíntotas para conseguirmos finalmente esboçar o gráfico.
  • Como f é uma função polinomial, seu domínio é o próprio conjunto dos números reais, sem nenhuma restrição. Já que não temos restrições no domínio, a função não tem assíntotas verticais. E fazendo os limites adequados para descobrir assíntotas horizontais, você vai ver que f também não tem assíntotas horizontais. Então estamos prontos para esboçar o gráfico, que vai ficar desse jeito:

    Resposta

    (a.1) Intervalo de crescimento de f : - ∞ ,   1 - 10 ∪ [ 1 + 10 , + ∞ )

    Intervalo de decrescimento de f : 1 - 10 , 1 + 10    

    (a.2) x =   1 - 10 é um ponto de máximo local e x = 1 + 10 a é um ponto de mínimo local

    (a.3) Nos intervalos - 3 2 ,   0 e 3 , + ∞ ) a função é côncava pra cima e nos intervalos ( - ∞ ,   - 3 2 e 0 ,   3 a função é côncava pra baixo

    (a.4) - 3 2 ,   f ( - 3 2 ) ,   0 ,   f ( 0 )   e   3 , f ( 3 )

    b)

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