Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f x = 2 x e x + 4 .

  1. Determine o domínio de f e os pontos de Interseção do gráfico com os eixos coordenados.
  2. Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais.
  3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo e os seus valores.
  4. Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
  5. Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

-

Vamos letra por letra, porque isso não é bagunça hehe.

  1. As restrições ao domínio estão localizadas nos pontos de indeterminação ou singularidade. Temos aqui um produto de duas funções sem restrições ao domínio, um polinômio e uma exponencial. Dessa maneira, não haverá restrição ao domínio e: D = R
  2. A interseção com o eixo x se dá quando a função vale zero:

    f x = 0 ⟹ 2 x e x + 4 = 0

    Como a exponencial é sempre positiva: x = 0

    A interseção com o eixo y acontece quando x = 0 , onde, já vimos:

    y = 0

    Ou seja, a função passa pela origem.

    Passo 2

  3. Começando pelas assíntotas horizontais, devemos testar a função para x → ∞ e x → - ∞ :
  4. lim x → ∞ ⁡ 2 x ⋅ e x + 4 ⟹ ∞ ⋅ ∞ ⟹ ∞

    Já para x → - ∞ :

    lim x → ∞ ⁡ 2 x ⋅ e x + 4 = 0

    Uma vez que a exponencial vai a zero quando a base tende a menos infinito muito mais rápido que um polinômio vai a menos infinito na mesma condição. Também é possível demonstrar isso usando L’Hôpital.

    Dessa maneira, temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

    Como a função é sempre continua, não haverá assíntotas verticais.

    Passo 3

  5. A função cresce quando a derivada é positiva e decresce do contrário. Vamos calcular a derivada então. Pela regra do produto e cadeia:
  6. f ' x = 2 x ' ⋅ e x + 4 + 2 x e x + 4 ' = 2 e x + 4 + 2 x e x + 4 = 2 e x + 4 x + 1

    Que zera em x = - 1 . Testando o sinal à esquerda e a direita desse ponto:

    f ' - 2 = 2 e 2 - 2 + 1 = - 2 e 2 < 0

    f ' 0 = 2 e 4 > 0

    Ou seja, a função é decrescente para:

    x < - 1

    E crescente para: x > - 1

    Aproveitando os dados que já conseguimos, vimos que a derivada zera em x = - 1 , ou seja, esse é um ponto crítico. Vimos também que a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita, assim, pelo teste da primeira derivada esse é um ponto de mínimo. Nesse ponto:

    f ' - 1 = 2 ⋅ - 1 e - 1 + 4 = - 2 e 3

    Passo 4

  7. A função é côncava para cima quando a segunda derivada é maior que zero e côncava para baixo quando a segunda derivada é menor que zero. Assim, vamos calcular a segunda derivada. Pela regra do produto e cadeia novamente:
  8. f ' ' x = 2 e x + 4 ' x + 1 + 2 e x + 4 x + 1 ' = 2 e x + 4 x + 1 + 2 e x + 4

    f ' ' x = 2 e x + 4 x + 2

    Que zera quando x = - 2 . Testando valores à esquerda e à direta desse ponto: f ' ' - 4 = 2 e - 4 + 4 - 4 + 2 = 2 e 0 ⋅ - 2 = - 4 < 0

    f ' ' 0 = 2 e 4 2 = 4 e 4 > 0

    Portanto, a função é côncava para baixo para:

    x < - 2

    E côncava para cima para:

    x > - 2

    No ponto onde a função troca de concavidade, temos um ponto de inflexão: x = - 2

    Passo 5

  9. Com os dados obtidos, chegamos ao gráfico:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas