Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere

f x = x 3 + 3 x 2 s e x ≤ 0 sen ⁡ x - x s e 0 < x < 2 π

  1. f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?
  2. Calcule lim x → 2 π ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x
  3. Determine os pontos críticos de f .
  4. Em quais intervalos f é crescente?
  5. Em quais intervalos f é decrescente
  6. Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .
  7. Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .
  8. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?
  9. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?
  10. Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .
  11. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

a )

Para sabermos a continuidade dessa função precisamos analisar a função no ponto que pode dar problema que é x = 0 , como as duas partes de f x são funções polinomiais ou a função seno elas vão ser contínuas, assim

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 3 + 3 x 2 = 0 3 + 3 ∙ 0 2 = 0 + 0 = 0

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x - x = sen ⁡ 0 - 0 = 0 - 0 = 0

Como os limites laterais são iguais, vamos ter

lim x → 0 ⁡ f x = 0

E além disso, vamos ter

f 0 = 0 3 + 3 ∙ 0 2 = 0

Logo

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

E a função vai ser contínua.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora se ela é derivável, para isso temos que achar as derivadas a direita e a esquerda,

f ' x = 3 x 2 + 6 x s e x ≤ 0 cos ⁡ x - 1 s e 0 < x < 2 π

Vamos ter

f ' 0 - = 3 ∙ 0 2 + 6 ∙ 0 = 0

f ' 0 + = cos ⁡ 0 - 1 = 1 - 1 = 0

Como as derivadas laterais são iguais a função vai ser derivável em x = 0

Passo 3

b )

Vamos achar os limites que ele pediu

lim x → 2 π ⁡ f x = lim x → 2 π ⁡ sen ⁡ x - x = sen ⁡ 2 π - 2 π = 0 - 2 π = - 2 π

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 3 x 2

Para esse limite infinito vamos por x 3 em evidência, é aquele tipo de limite com polinômio

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 3 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 + 3 x 2 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 + 3 x = - ∞ 1 + 0 = - ∞

Passo 4

c )

Vamos começar pelos pontos críticos, para isso devemos achar a derivada de f

f ' x = 3 x 2 + 6 x s e x ≤ 0 cos ⁡ x - 1 s e 0 < x < 2 π

Vamos igualar essa derivada a 0 , primeiro para x ≤ 0

3 x 2 + 6 x = 0

3 x x + 2 = 0

Isso nos diz que

3 x = 0         o u         x + 2 = 0

x = 0         o u         x = - 2

E ambos servem, porque ambos são ≤ 0

Passo 5

Vamos agora ver para 0 < x < 2 π

cos ⁡ x - 1 = 0

cos ⁡ x = 1

Os valores que o cosseno é um são

x = 0         o u         x = π

Mas aqui só vamos pegar x = π isso porque 0 não está em 0 < x < 2 π , ele ignora os extremos.

E o nosso único ponto crítico vai ser

x = π

Passo 6

d )

Vamos analisar o sinal da derivada

f ' x = 3 x 2 + 6 x s e x ≤ 0 cos ⁡ x - 1 s e 0 < x < 2 π

Na primeira parte vamos ter uma função de segundo grau com duas raízes, a parábola fica algo assim

Aqueles pontos são x = 0 e x = - 2

Então ela vai ser positiva em

x < - 2

Não vamos pegar x > 0 porque ele não faz parte do intervalo que a parábola pertence.

Na segunda parte, temos o cosseno,

cos ⁡ x - 1 > 0

cos ⁡ x > 1

Como cosseno nunca vai ser maior que 1 ele nunca vai ser positivo, e o intervalo que a função é crescente vai ser

x < - 2

Passo 7

e )

Usando as ideias do passo anterior vamos ter, no primeiro intervalo a derivada vai ser positiva em

- 2 < x < 0

Na segunda parte ela vai ser sempre negativa, então a função vai ser decrescente em

- 2 < x < 2 π

Passo 8

f )

Vamos analisar os pontos críticos, são três

x = 0         o u         x = - 2

x = π

Pelo que vimos só em um vai ter troca de sinal da derivada, em x = - 2 , nesse ponto ele vai de para + no sinal da derivada, então pelo teste da primeira derivada ele vai ser ponto de máximo local.

Então não temos ponto de mínimo local.

Passo 9

g )

Já vimos que vamos ter um ponto de máximo local, que vai ser onde x = - 2

Vamos achar o valor de y

f - 2 = - 2 3 + 3 - 2 2 = - 8 + 3 ∙ 4 = - 8 + 12 = 4

- 2,4

Passo 10

h )

Para olharmos a concavidade devemos achar a segunda derivada

f ' '   x = 6 x + 6 s e x ≤ 0 - sen ⁡ x s e 0 < x < 2 π

Vamos analisar o sinal dessa segunda derivada, na primeira parte com 6 x + 6

Temos

6 x + 6 > 0

6 x > - 6

x > - 1

Dessa forma quando x estiver

0 ≥ x > - 1

Ele vai ser côncavo para cima, vamos ver agora a segunda parte dessa derivada

- sen ⁡ x > 0

sen ⁡ x < 0

E vamos ter

π < x < 2 π

Sendo o intervalo onde o seno é negativo, dessa forma a função vai ser côncava para cima em

0 ≥ x > - 1

E

π < x < 2 π

Passo 11

i )

Como vimos no passo anterior, o gráfico vai ser côncavo para baixo em

x < - 1

E

0 < x < π

Passo 12

j )

Temos 3 trocas de concavidades uma em x = - 1 , uma em x = 0 e uma em x = π , vamos achar os pontos completos

f - 1 = - 1 3 + 3 - 1 2 = - 1 + 3 = 2

f 0 = 0

f π = sen ⁡ π - π = - π

E os pontos de inflexão vão ser

- 1,2

0,0

π , - π

Passo 13

k )

O gráfico vai ser algo mais ou menos assim, vamos primeiro marcar os pontos de inflexão e o ponto de máximo.

O gráfico vai ficar algo assim

Resposta

  1. Ela é contínua e derivável
  2. lim x → 2 π ⁡ f x = - 2 π
  3. lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

  4. x = 0         o u         x = - 2         o u         x = π
  5. x < - 2
  6. - 2 < x < 2 π
  7. Não Tem
  8. - 2,4
  9. 0 ≥ x > - 1         o u         π < x < 2 π
  10. x < - 1         o u         0 < x < π
  11. - 1,2   e   0,0   e   π , - π

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