Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = - 1 - 1 x + 1 x 2

Passo 1

- A gente sabe que denominador não pode ser zero, correto? Então a função ali não pode assumir x = 0 , caso contrário vai dar problema. De resto, nenhum problema quanto à existência da função. Assim,

D = R - { 0 }

- A função não apresenta qualquer simetria de paridade

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Passo 2

- As assíntotas verticais estão relacionadas aos pontos onde o domínio não está definido. Usamos o limite,

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ - 1 - 1 x + 1 x 2 = lim x → 0 ⁡ - x 2 - x + 1 x 2 = + ∞   ,    

x = 0   é   A s s .   V e r t i c a l

As assíntotas horizontais, por outro lado, tem a ver com a tendência do limite de f no infinito. Usando os limites para ± ∞ , achamos o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 - 1 x + 1 x 2 = - 1

Para - ∞ o limite será o mesmo! Assim, temos que y = - 1 é uma assíntota horizontal.

Passo 3

- A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua.

Assim, f ( x ) é contínua em ] - ∞ , 0   ∪   0 , + ∞ [ .

- Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical seriam aqueles pontos onde a função apresenta um crescimento ou decrescimento infinito, ou seja, nas assíntotas verticais.

Para essa f , isso só acontece em x = 2 .

Passo 4

- Para definir se a função é crescente ou decrescente, devemos olhar para o sinal de sua derivada: onde ela é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce. Vamos calcular a derivada:

f ' x = - 1 - 1 x + 1 x 2 ' = 1 x 2 - 2 x 3

= x - 2 x 3

A gente conclui que o sinal depende só de x - 2 e de x 3 . Confere aqui no quadrinho então:

Logo, f ( x ) cresce de - ∞ até 0 e a partir de x = 2 . Entre 0 e 2 f decresce.

- Os extremos relativos acontecem onde f x = 0 .

Temos que apenas x = 2 satisfaz isso, já que x = 0 não faz parte do domínio. Nesse ponto, f ( x ) vai valer:

f 2 = - 1 - 1 2 + 1 2 2 = - 5 4

No caso, como a derivada é negativa antes e positiva depois x = 2 é um ponto de mínimo relativo.

Passo 5

- Definimos a concavidade de acordo com o sinal da derivada segunda: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!

f ' ' x = x - 2 ' x 3 - x - 2 x 3 ' x 3 2

= x 3 - x - 2 ( 3 x 2 ) x 6

= - 2 x + 6 x 4

= 2 3 - x x 4

Sabemos que o denominador tá elevado a uma potência par, o que faz dele sempre positivo. Então o nosso sinal só depende do termo de cima, correto? Assim, a concavidade é para cima quando x < 3 e para baixo no resto do domínio.

- Para pensar em extremos relativos temos que analisar se os limites da função para ± ∞ são maiores ou menores que os pontos críticos (onde f ' x = 0 ).

No caso, lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = - 1 e f 2 = - 5 4 e no resto do domínio nenhum outro ponto tem um valor menor (vale dizer que o limite na descontinuidade x = 0 é + ∞ ), concluímos que x = 2 é ponto de mínimo absoluto.

- A imagem de f consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como seu menor valor é - 5 4 e em x → 0 a função tende para + ∞ , sua imagem é:

I m = - 5 4 , + ∞

Passo 6

- Agora juntamos todas as informações para desenhar o nosso gráfico.

Resposta

( f i g u r a   a c i m a )

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