Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Para a função h   : R   →   R dada por:

h x = x e - 5 x

a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.

b)Faça o estudo da concavidade.

c) Determine as assíntotas horizontais.

b) Esboce o gráfico.

Passo 1

a) Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da derivada de h . Então vamos começar derivando a função:

h ' x = x ' e - 5 x + x e - 5 x ' = e - 5 x - 5 x e - 5 x = e - 5 x ( 1 - 5 x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos estudar o sinal da derivada. Observe que e - 5 x > 0 para qualquer x . Então o sinal da derivada depende apenas da reta 1 - 5 x . Vamos analisar o sinal dela:

A reta é positiva antes de x = 1 5 e negativa depois desse ponto. Assim:

  • Intervalo de crescimento de h : x ≤ 1 5
  • Intervalo de decrescimento de h : x > 1 5

Passo 3

b) Temos que descobrir onde a função é côncava pra cima ou côncava pra baixo. Como fazer isso? Analisando o sinal da segunda derivada. Então vamos derivar h ' ( x ) :

h ' ' x = ( e - 5 x 1 - 5 x ) ' = - 5 e - 5 x 1 - 5 x + e - 5 x - 5 = 5 e - 5 x ( 5 x - 2 )

Passo 4

Assim como no item (a), o sinal não vai depender de e - 5 x , apenas da reta 5 x - 2 , cujo gráfico está esboçado abaixo:

Então:

  • h ' ' x > 0 quando x ≥ 2 5
  • h ' ' x < 0 quando x < 2 5

Portanto a concavidade de h   é voltada pra cima se x ≥ 2 5 e voltada pra baixo se   x < 2 5

Passo 5

c) Pra calcular as assíntotas horizontais temos que fazer os limites com x → ± ∞ . Vamos lá:

lim x → + ∞ ⁡ x e - 5 x = lim x → + ∞ ⁡ x e 5 x = ∞ ∞

Aplicando L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 5 e 5 x = 1 - 5 e ∞ = 0

Passo 6

Agora vamos fazer com x → - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x e - 5 x = lim x → - ∞ ⁡ x ∙ lim x → - ∞ ⁡ e - 5 x = - ∞ ∞ = - ∞

Portanto, só h tem uma assíntota horizontal, que é y = 0

Passo 7

d) A partir das informações que obtivemos nos itens anteriores, o gráfico de h fica assim:

Resposta

a) Intervalo de crescimento de h : x ≤ 1 5

Intervalo de decrescimento de h : x > 1 5

b) a concavidade de h   é voltada pra cima se x ≥ 2 5 e voltada pra baixo se   x < 2 5

c)   y = 0

d)

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