4. Esboce o gráfico da função y = f x = x - 2 e - x , indicando:

  1. Interseções com os eixos coordenados;
  2. Regiões de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais;
  3. Regiões de concavidade para baixo e para cima e pontos de inflexão;
  4. Comportamento no infinito e assíntotas;
  5. Máximo e mínimo absoluto.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que esboçar o gráfico da função

y = f x = x - 2 e - x

E os passos para fazer esse esboço são justamente os comandos pedidos em cada item. Então vamos fazer o que o problema nos pede em cada item e fazer esse gráfico!

Passo 2

  1. A gente começa encontrando os pontos onde o gráfico corta o eixo x e y . Ou seja, vamos encontrar os pontos onde x = 0 e y = 0 .
  2. Começando por x = 0 ,

    y = f 0 = 0 - 2 e 0 = - 2

    Ou seja, o gráfico corta o eixo x no ponto 0 , - 2 .

    Para y = 0 , teremos

    0 = x - 2 e - x

    Como o termo e - x nunca poderá ser zero, pois é uma exponencial. Para essa igualdade ser verdade temos que apenas x - 2 pode zerar. Logo

    0 = x - 2

    x = + 2

    Ou seja, o gráfico ira cortar o eixo y no ponto + 2,0 .

    Passo 3

  3. Agora vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função. Esses pontos são chamados pontos críticos.
  4. Para encontrar um ponto crítico, temos que descobrir quais pontos que a nossa derivada é igual a zero. Ou seja, temos que fazer,

    y ' = f ' x = 0

    Temos a seguinte função,

    f ' x = x - 2 e - x

    Derivando a nossa função, aplicando a regra do produto, ficamos com

    f ' x = x - 2 ' e - x + x - 2 e - x '

    f ' x = 1 e - x + x - 2 - e - x

    f ' x = - x + 3 e - x

    Igualando a zero, ficamos com

    f ' x = - x + 3 e - x = 0

    Como o termo e - x nunca poderá ser zero, pois é uma exponencial. Para essa igualdade ser verdade temos que apenas - x + 3 pode zerar. Logo

    - x + 3 = 0

    x = + 3

    Ou seja, o ponto x = + 3 é um ponto crítico.

    Agora vamos fazer os testes de crescimento e decrescimento!

    Passo 4

    Basicamente, o que temos que fazer agora é a avaliar a derivada antes e depois.

    Se a derivada for positiva temos que a função será crescente (ou seja, vai para cima), caso ela seja negativa, a função é decrescente (ou seja, vai para baixo).

    Vamos montar então o quadro dos sinais. Lembrando que a nossa derivada é:

    f ' x = - x + 3 e - x

    Com isso, ficamos

    Analisando os valores obtidos na primeira linha, ficamos com

    Já para a segunda linha, teremos valores negativos para números que + 3 e valores positivos para números menores que + 3 .

    Multiplicando a primeira e segunda linha para chegarmos na nossa derivada, ficamos com

    Agora que sabemos quando a derivada é positiva e negativa, sabemos quando ela cresce ou decresce,

    Ou seja, ela cresce para valores menores que + 3 e volta a decrescer para valores maiores que + 3 . Ao desenharmos isso, encontramos um ponto de mínimo.

    Passo 5

  5. Pelo desenho acima, já conseguimos ver que temos uma concavidade para baixo no ponto x = + 3 .
  6. Mas para avaliarmos as concavidades e pontos de inflexões possiveis, precisamos fazer o teste da segunda derivada.

    Tinhamos a seguinte derivada,

    f ' x = - x + 3 e - x

    Derivando de novo (também aplicando a regra do produto),

    f ' ' x = - x + 3 ' e - x + - x + 3 e - x '

    f ' ' x = - 1 e - x + - x + 3 - e - x

    f ' ' x = x - 4 e - x

    Agora temos que avaliar o sinal: se a f ' ' < 0 temos uma concavidade para baixo; se f ' ' > 0 temos uma concavidade para cima; e se f ' ' x = 0 temos um ponto de inflexão.

    Avaliando o ponto crítico x = 3 , teremos,

    f ' ' 3 = 3 - 4 e - 3 = - e - 3 < 0

    Ou seja, temos uma concavidade para baixo.

    Agora vamos verificar se tem um ponto de inflexão, fazendo f ' ' x = 0 .

    f ' ' x = x - 4 e - x = 0

    Como o termo e - x nunca poderá ser zero, pois é uma exponencial. Para essa igualdade ser verdade temos que apenas x - 4 pode zerar. Logo

    x - 4 = 0

    x = + 4

    Ou seja, o ponto x = + 4 é um ponto de inflexão.

    Passo 6

  7. Agora vamos avaliar as assíntotas horizontais e verticais.
  8. Para encontrar as assíntotas horizontais, avaliar quando x → ± ∞

    lim x → + ∞ ⁡ x - 2 e - x = lim x → + ∞ ⁡ x - 2 e x = ∞ ∞

    Repara que caímos em uma interminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar L’Hoptal para resolver esse limite.

    Derivando em cima e embaixo ficamos com

    lim x → + ∞ ⁡ x - 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 0

    Ou seja, temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

    Agora vamos avaliar x → - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ x - 2 e - x = - ∞

    Ou seja, não temos assíntotas horizontais para quando x → - ∞ .

    Para as assíntotas verticais, temos que verificar os pontos onde a função não existe. Por exemplo, o domínio de e - x são apenas os números maiores que zero. Já o domínio a parte x - 2 são todos reais. Logo, o domínio da função são todos os números reais. Sendo assim, não há assíntotas verticais.

    Passo 7

  9. Por fim, temos que verificar quais são so máximos e mínimos absolutos. Mas isso, nós já fizemos. Vimos que a função só possui um ponto de máximo, então temos um máximo absoluto em x = + 3 .

Agora se analisarmos o comportamento da função para quando ela se aproxima de x = - 2 , vamos tendo valores cada vez mais negativos. Deste modo, não há mínimo absoluto.

Passo 3

Por fim, juntando todas a informações que obtivemos sobre a função, podemos esboçar o seguinte gráfico.

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2