Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Esboce o gráfico da função

f x = e - x 2

determinando ( 1 ) domínio, ( 2 ) interceptos, ( 3 ) a existência de assíntotas verticais e horizontais, ( 4 ) intervalos de crescimento e decrescimento, ( 5 ) pontos extremos, ( 6 ) concavidade e ( 7 ) pontos de ineflexão.

Passo 1

1   e   2 : Nós temos que dividir a análise do gráfico em domínio, análise do crescimento, análise de concavidade e assíntotas. Começamos no domínio:

f x = e - x 2

Como a gente vê, não há fator limitante para o domínio. Nosso domínio vai ser:

D o m :   R

Há ainda uma relação de paridade, já que f x = f - x para qualquer valor de x . Isso significa que a função será espelhada em relação ao eixo y .

Sobre os interceptos, a gente vai ver que f x nunca é nula, então não cruza o eixo x . Porém, cruza o eixo y no ponto em que x = 0 , 0,1

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Passo 2

3 : Assíntotas agora. As verticais estão relacionadas com as descontinuidades, ou seja, não teremos nenhuma delas para essa função.

Para assíntotas horizontais temos que lançar o limite para + ∞ e - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x 2 = 0

lim x → - ∞ ⁡ e - x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 e x 2 = 0

Uma assíntota horizontal em y = 0 , para os ± ∞ . Assim, não haverão assíntotas oblíquas.

Passo 3

4   e   5 : Vamos observar o crescimento da função; para isso analisamos o sinal da derivada primeira. Vamos derivar o termo pela Regra do Produto e da cadeia:

f ' x = e - x 2 ' = - x 2 ' e - x 2

= - 2 x e - x 2

Como a exponencial é sempre positiva nós vemos que o sinal da derivada vai depender só do - 2 x , que é positivo para x < 0 e negativo para x > 0 !

A função é decrescente em x > 0 e crescente em x < 0 . x = 0 será o único ponto crítico, que consistirá em um máximo local, já que a derivada é positiva antes e negativa depois.

Passo 4

6 e   7 : Vamos olhar a derivada segunda agora e a concavidade. Vamos, novamente pela Regra do Produto:

f ' ' x = - 2 x e - x 2 ' = e - x 2 ' - 2 x + e - x 2 - 2 x '

= - 2 x e - x 2 - 2 x + e - x 2 - 2

= 4 e - x 2 x 2 - 1 2

Então o termo da derivada segunda, por se tratar de uma exponencial vezes uma diferença de quadrados pode ser escrito como:

e - x 2 x + 1 2 x - 1 2

Podemos fazer o quadro de sinais para esse cara, já lembrando que a exponencial é positiva e o sinal só depende do x + 1 2 e do x - 1 2 .

A gente vai reparar que a concavidade é para cima quando x ∈   ] - ∞ , - 1 2   [   ∪   ] 1 2 , + ∞ [ e para baixo quando x está em ] - 1,1 [ .

Ponto de inflexão em x = - 1 2 , x = 1 2 .

Passo 5

Agora reunimos as informações que já achamos:

- D o m :   R

- F u n ç ã o   p a r   f x = f - x

- A   f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e   e m   x > 0   e   c r e s c e n t e   e m   x < 0

-   x = 0   c o n s i s t i r á   e m   u m   m á x i m o   g l o b a l

- a   c o n c a v i d a d e   é   p a r a   c i m a   q u a n d o   x ∈   ] - ∞ , - 1 2   [   ∪   ] 1 2 , + ∞ [  

e   p a r a   b a i x o   q u a n d o   x   e s t á   e m   ] - 1 2 , 1 2 [

- x = - 1 2   e   x = 1 2   s ã o   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o

- A s s .   v . : - ; A s s .   h . : y = 0   ; A s s .   o . : -

Vamos para o esboço, sendo f 0 = 1 e f - 1 2 = f 1 2 = 1 e :

Resposta

f i g u r a   a c i m a

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