Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3

Passo 1

- A gente sabe que denominador não pode ser zero e não existe raiz de número negativo, correto? Assim, temos que x 2 - 2 x - 3 > 0 . Por ser uma parábola com a boca para cima, sabemos que ela só será negativa entre as raízes, onde temos ainda

x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 )

Logo, o domínio será esse:

D = R - ] - 1,3 [

- Não existe nenhum tipo de simetria ou paridade dessa função.

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Passo 2

- As assíntotas verticais estão relacionadas aos pontos onde o domínio tem uma descontinuidade. Usando o limite lateralem - 1 e 3

lim x → - 1 - ⁡ f x = - 2 0 = - ∞ ,     x = - 1   é   A s s .   V e r t i c a l

lim x → - 3 + ⁡ f x = 10 0 = ∞ ,     x = 3   é   A s s .   V e r t i c a l

As assíntotas horizontais, por outro lado, tem a ver com a tendência do limite de f no infinito. Usando os limites para ± ∞ , achamos o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 1 x | x | 1 - 2 x - 3 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 3 - 1 x 1 - 2 x - 3 x 2 = 3

lim x → + ∞ ⁡ 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 1 x | x | 1 - 2 x - 3 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 3 - 1 x ( - 1 ) 1 - 2 x - 3 x 2 = - 3

Assim, temos que y = 3 e y = - 3 são assíntotas horizontais.

Passo 3

- A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua.

Assim, f ( x ) é contínua em R - ] - 1,3 [ .

- Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical seriam aqueles pontos onde a função apresenta um crescimento ou decrescimento infinito, ou seja, nas assíntotas verticais.

Para essa f , isso só acontece em x = - 1 e x = 3 .

Passo 4

- Para definir se a função é crescente ou decrescente, devemos olhar para o sinal de sua derivada: onde ela é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce. Então pra nossa função:

f x = 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3

Vamos calcular a derivada. E como temos termos com x em cima e em baixo, bora usar uma regra do quociente:

f ' x = 3 x + 1 ' x 2 - 2 x - 3 - 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 ' x 2 - 2 x - 3 2

= 3 x 2 - 2 x - 3 - 3 x + 1 x - 1 x 2 - 2 x - 3 ( x 2 - 2 x - 3 )

= 3 x 2 - 2 x - 3 - 3 x + 1 x - 1 x 2 - 2 x - 3 3 / 2

= 3 x 2 - 6 x - 9 - 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3 3 / 2 = - 4 x + 2 x 2 - 2 x - 3 3 / 2

Ufa, demorou mas tai, a primeira derivada vai ser:

f ' x = - 4 x + 2 x 2 - 2 x - 3 3 / 2

Se analisarmos bem o denominador, vamos ver que não tem como ele ser nunca negativo. Afinal, essa primeira derivada pode ser reescrita para:

f ' x = - 4 x + 2 x 2 - 2 x - 3 3

E raiz quadrada de número negativo, não rola né? Então o sinal de f ' x vai depender somente do numerador. Assim, temos que, quando x ≥ - 2 , o numerador é negativo e logo, toda a primeira derivada. E quando x ≤ - 2 o numerador é positivo e, logo, a primeira derivada toda também será. Resumindo:

f ' x > 0 → x ∈ - ∞ , - 2 → F u n ç ã o   c r e s c e

f ' x < 0 → x ∈ - 2 , + ∞ → F u n ç ã o   d e c r e s c e

Os extremos relativos acontecem onde f ' x = 0 . Temos que apenas x = - 2 satisfaz isso, sendo o único extremo relativo.

Passo 5

- Definimos a concavidade de acordo com o sinal da derivada segunda: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!

f ' ' x = - 4 x + 2 ' x 2 - 2 x - 3 3 / 2 - - 4 x + 2 x 2 - 2 x - 3 3 / 2 ' x 2 - 2 x - 3 3 / 2 2

= - 4 x 2 - 2 x - 3 3 2 + 4 x + 2 3 2 2 x - 2 x 2 - 2 x - 3 x 2 - 2 x - 3 3

- 4 x 2 - 2 x - 3 + 12 x + 2 x - 1 x 2 - 2 x - 3 5 2

= 8 x 2 + 5 x 2 - 3 2 x 2 - 2 x - 3 5 2

= 8 x - 1 2 ( x + 3 ) x 2 - 2 x - 3 5 2

Vamos fazer o quadro de sinais para analisar essa concavidade:

Nessa situação, a função tem concavidade para cima em ] - ∞ , - 3 [ e em [ 1 2 , + ∞ [ e para baixo no resto do espaço. Como nosso domínio é D = R - ] - 1,3 [ , os intervalos passam a ser

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a :   ] - ∞   , - 3 ] ∪ [ 3 , + ∞ [

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o :   ] - 3 , - 1 [

- Para pensar em extremos absolutos temos que analisar se os limites da função para ± ∞ são maiores ou menores que os pontos críticos (onde f ' x = 0 ).

Já havíamos concluído que o limite de f ( x ) quando x → + ∞ é 3 . Como f 2 = - 5 vemos que não haverão extremos absolutos, então!

- A imagem de f consiste em todos os valores que ela pode assumir.

Como o limite de f em ± ∞ é 3 e em - 1 e 3 o limite explode para cima, considerando ainda concavidade sempre para cima, temos sua imagem:

I m = 3 , + ∞

Passo 6

- Agora juntamos todas as informações para desenhar o nosso gráfico.

Resposta

f i g u r a   a c i m a

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