Seja g a função dada por:

g x = 2 x 2 + 4 x + 3

  1. Encontre os intervalos I 1 e I 2 tais que g é inversível para todo x ∈ I 1 , g é inversível para todo x ∈ I 2 e I 1 ∪ I 2 = I R
  2. Para cada intervalo obtido no item anterior, faça um esboço em um mesmo plano cartesiano da reta y = x com os gráficos das funções g e g - 1
  3. Determine o domínio, a imagem e a expressão da função inversa de g tal que o gráfico de g - 1 passe pelo ponto 3 , - 2

Passo 1

Antes da gente começar e mergulhar de cabeça na questão, vamos dar uma lembrada rápida no conceito de função inversa:

Então uma função inversa é aquela que tem como domínio a imagem da função que a originou e tem como imagem o domínio da função que a originou. Ok, mas vamos lembrar de oooutra coisa importante: O Teorema da Função Inversa:

S e   g x   é   d e r i v á v e l   e   g ' x ≠ 0   ,   e n t ã o   g x   é   i n v e r s í v e l

Bem, g x é um polinômio né, então é derivável pra todo x ∈ I R . Agora, vamos ver se g ' x ≠ 0 ta valendo. Saca só:

g ' x = 2 x 2 + 4 x + 3 '

f ' x = 4 x + 4

Se igualarmos a primeira derivada à 0 , temos:

4 x + 4 = 0

x = - 1

Opa, então g ' x ≠ 0 não é verdade em toooodos os pontos. Mas nos domínios:

( - ∞ , 1 ]

[ 1 , + ∞ )

Aí sim g vai ser inversível! E taí a letra a respondida já! Se:

I 1 = ( - ∞ , - 1 ] I 2 = [ - 1 , + ∞ )

Então de fato   g é inversível para todo x ∈ I 1 e para todo x ∈ I 2 e de fato I 1 ∪ I 2 = I R

Passo 2

Agora vamos esboçar os gráficos que tivermos pra esboçar. Pra comerçar, vamos esboçar a curva original:

g x = 2 x 2 + 4 x + 3

Então, vamos fazer a primeira e a segunda derivada e igualar a 0 , beleza? Assim a gente vai achar, respectivamente, informações sobre a inclinação da reta tangente ao gráfico e a concavidade. Derivando uma vez:

g ' x = 2 x 2 + 4 x + 3 ' = 4 x + 4 = 0

x = - 1

Opa, temos x = - 1 como ponto crítico. Vamos ver se ele é de máximo ou de mínimo ou nenhum dos dois então. Escolhendo um x antes dele, por exemplo, x = 0 , temos:

g ' - 2 = - 4 < 0

E escolhendo um x depois, por exemplo, x = 0 , temos:

g ' 0 = 4 > 0

Então x = - 1 é um ponto de mínimo, o que quer dizer que antes de x = - 1 a função decresce e depois, cresce. Partiu checar a segunda derivada agora:

g ' ' x = g ' x '

g ' ' x = 4

Olha só! A segunda derivada é positiva pra todo x ∈ I R ! Então a função vai ter concavidade pra cima o tempo todo! Pra fechar o esboço, vamos olhar pras interseções com os eixos. Se x = 0 :

g 0 =   2 0 2 + 4 0 + 3

g 0 = 3

Sendo assim, o ponto 0,3 faz parte da curva. Agora, saca só a sagacidade! Como o ponto

x = - 1

É um ponto de mínimo, fazemos:

g - 1 = 2 - 1 2 + 4 - 1 + 3

g - 1 = 1

Então o ponto de mínimo é - 1,1 , um ponto acima do eixo x ! Sem interseções com o eixo x nesse caso galera. Terminamos então! Agora é só esboçar!

E aproveite e deixe logo y = x esboçado também 😉

Passo 3

Agora vamos olhar pras inversas. Pra isso, precisamos achar elas primeiro. Seja:

g x = 2 x 2 + 4 x + 3 = y

Se passarmos o y pro outro lado, temos:

2 x 2 + 4 x + 3 - y = 0

O que ainda é um polinômio de segundo grau no qual queremos saber as raízes! Usando a querida fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Onde:

a = 2 b = 4 c = 3 - y

Ficamos com:

x = - 4 ± 16 - 8 3 - y 4 = - 1 ± 16 - 8 3 - y 16 = - 1 ± 2 - 3 - y 2

x = - 1 ± y - 1 2

Trocando x e y de lado:

y = - 1 ± x - 1 2

g - 1 x = - 1 ± x - 1 2

Ok, ok, mas tem um sinal de ± ali. Então vão ser duas funções? Exatamente! Uma pra cada um dos domínios I 1 e I 2 ! Agora, dá uma olhada. Se I 1 = ( - ∞ , - 1 ] , então:

x < - 1

- 1 ± y - 1 2 < - 1

± y - 1 2 < 0

E saca só! A inequação acima só é possível se o sinal de for o escolhido! Então o g - 1 x para o domínio I 1 vai ser:

g - 1 x = - 1 - x - 1 2

E para o domínio I 2 vai ser:

g - 1 x = - 1 + x - 1 2

Passo 4

Vamos esboçar as coisas agora pra cada um dos domínios, a começar por I 1 = ( - ∞ , - 1 ] . Primeiramente, como esse domínio não é todo o conjunto dos reais, o esboço de:

g x = 2 x 2 + 4 x + 3

Vai ter que ser limitado para:

Como vimos no passo anterior, a inversa desse caso que queremos é:

g - 1 x = - 1 - x - 1 2

Então partiu esboçar! Vamos fazer a mesmo análise que fizemos pra g x , beleza? Primeira derivada primeiro então:

g - 1 ' x = - 1 - x - 1 2 '

g - 1 ' x = - 1 2 2 x - 1 2 = - 1 4 x - 1 2 - 1 2

E veja só! A primeira derivada é sempre negativa e nunca igual à 0 ! Ou seja, f - 1 x é estritamente decrescente, sem pontos críticos! Agora, analisando a segunda derivada, temos:

g - 1 ' ' x = f - 1 ' x ' = - 1 4 x - 1 2 - 1 2 '

g - 1 ' ' x = - 1 4 - 1 2 x - 1 2 - 3 2 x - 1 2 '

g - 1 ' ' x = 1 16 x - 1 2 - 3 2

O que nos dá outra função no estilo da primeira derivada: sempre positiva e nunca igual à 0 . Se a segunda derivada é assim, então g - 1 x tem concavidade pra cima sempre! Pra gente fechar esse esboço, pensa aqui comigo:

g - 1 0 = - 1 - 0 - 1 2

g - 1 0 = - 1 - - 1 2

Opa opa, raiz par negativa? Não dá né? E ainda:

g - 1 x = - 1 - x - 1 2 = 0

x - 1 2 = - 1

Resultado de raiz par negativa também não vale. O que tiramos daí? Que g - 1 x não toca nenhum dos dois eixos. E ainda, temos que:

x - 1 2 ≥ 0

x - 1 2 ≥ 0

x ≥ 1

Então fazendo:

g - 1 1 = - 1 - 1 - 1 2 = - 1

Vemos que a curva começa no ponto 1 , - 1 ! Fechado então esse esboço em! Vamos ter então:

Passo 5

Última parte do esboço. Bora então pro domínio I 2 = [ - 1 , + ∞ ) . Primeiramente, como esse domínio não é todo o conjunto dos reais, o esboço de:

g x = 2 x 2 + 4 x + 3

Vai ter que ser limitado para:

Como vimos no passo anterior, a inversa desse caso que queremos é:

g - 1 x = - 1 + x - 1 2

Então partiu esboçar! Vamos fazer a mesmo análise que fizemos pra g x , beleza? Primeira derivada primeiro então:

g - 1 ' x = - 1 + x - 1 2 '

g - 1 ' x = 1 2 2 x - 1 2 = 1 4 x - 1 2 - 1 2

E veja só! A primeira derivada é sempre positiva e nunca igual à 0 ! Ou seja, f - 1 x é estritamente crescente, sem pontos críticos! Agora, analisando a segunda derivada, temos:

g - 1 ' ' x = f - 1 ' x ' = 1 4 x - 1 2 - 1 2 '

g - 1 ' ' x = 1 4 - 1 2 x - 1 2 - 3 2 x - 1 2 '

g - 1 ' ' x = - 1 16 x - 1 2 - 3 2

O que nos dá outra função no estilo da primeira derivada: sempre negativa e nunca igual à 0 . Se a segunda derivada é assim, então g - 1 x tem concavidade pra baixo sempre! Pra gente fechar esse esboço, pensa aqui comigo:

g - 1 0 = - 1 + 0 - 1 2

g - 1 0 = - 1 + - 1 2

Opa opa, raiz par negativa? Não dá né? O que tiramos daí? Que g - 1 x não toca o eixo y !. E como:

x - 1 2 ≥ 0

x - 1 2 ≥ 0

x ≥ 1

Então fazendo:

g - 1 1 = - 1 - 1 - 1 2 = - 1

Vemos que a curva começa no ponto 1 , - 1 ! Agora, será que a função toca o eixo x ? Bora ver então. Se y = 0 :

g - 1 x = - 1 + x - 1 2 = 0

x - 1 2 = 1

x - 1 2 = 1

x = 3

Vemos que o ponto 3 , 0 também faz parte da curva! Fechado então esse esboço em! Vamos ter então:

Passo 6

Pra fechar com chave de ouro, vamos responder a última letra. A questão quer que a gente determine algumas coisas sobre a inversa de g que passa pelo ponto 3 , - 2 . Veja bem, do gráfico esboçados, a gente já podia tirar de cara que a expressão da inversa que passa por esse ponto é:

g - 1 x = - 1 - x - 1 2

Mas se formos pensar em termos de função inversa, temos que pensar assim: seja o ponto 3 , - 2 ∈ g - 1 :

3   ∈ D o m g - 1

- 2   ∈ I m g - 1

E como para funções inversas:

D o m g - 1 = I m g

I m g - 1 = D o m g

Então vamos ter:

3   ∈ I m g

- 2   ∈ D o m g

O que é o mesmo que dizer que o gráfico de g x passa pelo ponto - 2,3 ! E se:

I 1 = ( - ∞ , - 1 ] I 2 = [ - 1 , + ∞ )

O domínio de f que possui o valor x = - 2 é I 1 . Então taí mais uma forma de saber qual dos dois g - 1 x que encontramos é o que a letra c pede. Agora que sabemos, falta achar o domínio e a imagem de g - 1 x . Se:

D o m g = I 1 = ( - ∞ , - 1 ]

E sendo:

g x = 2 x 2 + 4 x + 3

Pros limites do intervalo que define o domínio, vamos ter:

g - ∞ = + ∞

g - 1 = 1

Logo a imagem de g vai ser

I m g = [ 1 , + ∞ )

Se temos domínio e imagem de g , temos de g - 1 também!

D o m = [ 1 , + ∞ )

I m g - 1 = ( - ∞ , - 1 ]

Resumindo:

g - 1 x = - 1 - x - 1 2 D o m g - 1 = [ 1 , + ∞ ) I m g - 1 = ( - ∞ , - 1 ]

Resposta

  1. I 1 = ( - ∞ , - 1 ] I 2 = [ - 1 , + ∞ )
  2. g - 1 x = - 1 - x - 1 2 D o m g - 1 = [ 1 , + ∞ ) I m g - 1 = ( - ∞ , - 1 ]

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