Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Esboce o gráfico de f x = x 2 - 4 x - 1 2 , determinando o seu domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade e calculando todos os limites necessários.

Passo 1

Assim como o cara pediu no enunciado nós temos que dividir a análise do gráfico em domínio, análise do crescimento, análise de concavidade e assíntotas. Começamos no domínio:

f x = x 2 - 4 x - 1 2

Como a gente vê, o único fator limitante é o denominador da função, que não pode ser 0 . Para isso, x deve ser sempre diferente de 1 . Nosso domínio vai ser:

D o m :   R - 1

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Passo 2

Vamos observar o crescimento da função; para isso analisamos o sinal da derivada primeira. Vamos derivar o termo pela Regra do Quociente e da Cadeia:

f ' x = x 2 - 4 x - 1 2 ' = x 2 - 4 ' x - 1 2 - x 2 - 4 x - 1 2 ' x - 1 4

= 2 x x - 1 2 - x 2 - 4 2 x - 1 x - 1 4

= 2 x x - 1 - 2 x 2 - 4 x - 1 3

= 2 4 - x x - 1 3

Como a gente vê, o sinal só depende de 4 - x e do x - 1 . Vamos fazer o quadro de sinais para diversos intervalos:

Como dá para ver, a f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , 1   ∪   4 , + ∞ [   e   c r e s c e n t e   s ó   e m   ] 1,4 [ .

Sobre pontos críticos, temos dois, x = 1 e x = 4 . Porém, x = 1 não está definido no domínio, então não será ponto de máximo ou mínimo. Agora, x = 4 será, sendo que sua derivada é positiva antes e negativa depois, consistindo num ponto de máximo local.

Passo 3

Vamos olhar a derivada segunda agora e a concavidade. Vamos, novamente pela Regra do Quociente e da Cadeia:

f ' ' x = 2 4 - x x - 1 3 ' = 2 4 - x ' x - 1 3 - 2 4 - x x - 1 3 ' x - 1 6

= - 2 x - 1 3 - 2 4 - x 3 x - 1 2 x - 1 6

= - 2 x - 1 - 6 4 - x x - 1 4

= 4 x - 11 2 x - 1 4

O sinal do f ' ' x não vai depender do denominador, que está elevada a um expoente par. Só depende de x - 11 2 , que é positivo para x > 11 2 e negativo para x < 11 2 .

A gente vai reparar que a concavidade é para cima quando x ∈   ] 11 / 2 , + ∞ [ e para baixo quando x está em ] - ∞ , 11 2 [ .

Ponto de inflexão em x = 11 2 .

Passo 4

Assíntotas agora. As verticais estão relacionadas com as descontinuidades, ou seja, vamos fazer o limite para x → 1 + e x → 1 - :

lim x → 1 + ⁡ x 2 - 4 x - 1 2 = 1 - 4 1 - 1 2 = - 3 0

= - ∞

lim x → 1 - ⁡ x 2 - 4 x - 1 2 = 1 - 4 1 - 1 2 = - 3 0

= - ∞

Assíntota vertical em x = 1 .

Para assíntotas horizontais temos que lançar o limite para + ∞ e - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 4 x - 1 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 - 4 x 2 x 2 1 - 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 1 - 4 x 2 1 - 1 x 2

= 1 - 0 1 - 0 2

= 1

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 4 x - 1 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 - 4 x 2 x 2 1 - 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 1 - 4 x 2 1 - 1 x 2

= 1 - 0 1 - 0 2

= 1

Assíntota horizontal em y = 1 .

Não existem assíntotas oblíquas já que encontramos assíntotas horizontais para direita e para esquerda.

Passo 5

Agora reunimos as informações que já achamos:

- D o m :   R - 1

- f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , 1 [   ∪   ] 4 , + ∞ [   e   c r e s c e n t e   e m   ] 1,4 [

- x = 4   s e r á   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

- c o n c a v i d a d e   é   p a r a   c i m a   q u a n d o   x ∈   ] 11 / 2 , ∞ [    

e   p a r a   b a i x o   q u a n d o   x   e s t á   e m   ] - ∞ , 11 2 [

- x = 11 2   é   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

- lim x → 1 + ⁡ x 2 - 4 x - 1 2 = - ∞   ;   lim x → 1 - ⁡ x 2 - 4 x - 1 2 = - ∞

- A s s .   v . : x = 1 ; A s s .   h . : y = 1   ; A s s .   o . : -

Vamos para o esboço, sendo f 11 2 = 35 27 , f 4 = 4 3 e f 6 = 32 25 :

Resposta

f i g u r a   a c i m a

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