Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x - ln ⁡ x

Passo 1

Vamos seguir os passos-a-passos que nos foram pedidos lá no enunciado, beleza?

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não está definida entre ( - ∞ ,   0 ) , pois ln ⁡ x não está definida nesses pontos. Assim, nosso domínio é ( 0 ,   ∞ ) .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre em f 0 . Como 0 está fora do domínio, então a função não intercepta o eixo y . Nossa função não intercepta o eixo x , pois isso ocorre quando f x = 0 .

x - ln ⁡ x = 0

x = ln ⁡ x

Como não há solução, não há interseção no eixo x .

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

lim x → 0 + ⁡ x - ln ⁡ x = ∞

Dessa forma, em x = 0 temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = 1 - 1 x

f ' x > 0 quando

1 - 1 x > 0

1 > 1 x

x > 1

Então, f ( x ) está crescendo no intervalo 1 ,   ∞ e decrescendo no intervalo 0 ,   1 .

  ( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função só possui um ponto crítico, que é 1 . Aplicando 1 na nossa função, temos

f 1 = 1 - ln ⁡ 1 = 1

E é um valor de mínimo local. Não há valor de máximo local

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = 1 x 2

1 x 2 é maior que 0 em todos os pontos do domínio. Assim, nossa função possui a concavidade para cima em todos os pontos e não possui ponto de inflexão.

  ( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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