Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f : I R → I R a função dada por:

f x = arctan ⁡ x 2

  1. Determine, caso existam, as equações das assíntotas horizontais do gráfico de f
  2. Determine, caso existam, os intervalos onde f é crescente
  3. Esboce o gráfico de f . Marque em seu desenho as assíntotas horizontais e as abscissas dos pontos de máximo local e de mínimo local do gráfico de f , caso existam.
  4. O gráfico de f tem ponto de inflexão? Justique sua resposta.

Passo 1

Eu sei que funções trigonométricas e suas inversas são complicadas de trabalhar, mas relaxa meus caros, que a gente tira de letra. Quer ver? Dá uma olhada no círculo trigonométrico:

Quanto maior o arco então, maior o valor da tangente, não é? E quando:

x → π 2

Então:

tan ⁡ x → + ∞

Ok, mas e daí? Bem, como estamos procurando assíntotas horizontais, temos que fazer:

lim x → ± ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2

E olha só! Como o interior da função é um x 2 , qualquer sinal de negativo pra x some! Logo:

lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2 = lim x → - ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2 = arctan ⁡ ∞

Bem, queremos então o arco cuja tangente tende ao infinito. E já sabemos não é mesmo? Do círculo trigonométrico, tiramos que:

lim x → ∞ ⁡ arctan ⁡ x 2 = π 2

E essa vai ser a única assíntota horizontal! Em equação, temos:

y = π 2

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Passo 2

Vamos ver agora quando essa função cresce e quando decresce. Pra isso, vamos precisar da primeira derivada, ok? Partiu derivar então:

f ' x = arctan ⁡ x 2 '

f ' x = 1 1 + x 2 2 x 2 '

f ' x = 2 x 1 + x 4

Beleza, como a função vai crescer quando a primeira derivada for positiva e vai decrescer quando a primeira derivada for negativa, bora igualar à 0 então, que aí achamos o ponto em que a derivada muda de sinal:

f ' x = 2 x 1 + x 4 = 0

2 x = 0

x = 0

Show, agora vamos ver intervalos que envolvam essa única raíz de f ' x . Os intervalos são:

x < 0

x > 0

Pro primeiro intervalo, se usarmos, por exemplo, x = - 1 , temos:

f ' - 1 = 2 - 1 1 + - 1 4 = - 1 < 0

E pro segundo intervalo, se usarmos, por exemplo, x = 1 , temos:

f ' 1 = 2 1 1 + 1 4 = 1 > 0

Desses dois aí, só um dos intervalos vai ser de crescimento viu? A função cresce então em:

C r e s c e n t e → x > 0

E no caso, vai decrescer no outro intervalo, x < 0 .

Passo 3

Antes da gente partir pro esboço do gráfico, vamos dar uma olhada melhor no ponto x = 0 que achamos no ponto anterior:

f ' - 1 = - 1 < 0

f ' 0 = 0

f ' 1 = 1 > 0

Não é que esse ponto é um ponto crítico? E como antes dele a função decresce e depois ela cresce, vai ser um ponto de mínimo! Ok, mas não acabamos com x = 0 ainda! Saca só:

y = f 0 = arctan ⁡ 0 = 0

Opa, o ponto 0,0 faz parte então da curva e está abaixo da assíntota, já que ela é:

y = π 2

E pra fechar com chave de ouro, vamos bater um papo sobre concavidade! Pra isso, vamos precisar derivar de novo! A segunda derivada de f x vai ser então:

f ' ' x = 2 x 1 + x 4 '

Pra gente derivar esse cara aí, vamos precisar usar a regra do quociente, beleza? Vamos ter então:

f ' ' x = 2 x ' 1 + x 4 - 2 x 1 + x 4 ' 1 + x 4 2 = 2 1 + x 4 - 2 x 4 x 3 1 + x 4 2

f ' ' x = 2 + 2 x 4 - 8 x 4 1 + x 4 2 = 2 - 6 x 4 1 + x 4 2

E agora a gente iguala à 0 ! Quando a segunda derivada for positiva, a concavidade tá pra cima. Quando for negativa, tá pra baixo. Simbora então:

f ' ' x = 2 - 6 x 4 1 + x 4 2 = 0

2 - 6 x 4 = 0

2 = 6 x 4

x 4 = 2 6

x = ± 2 6 4

Opa, duas raízes então. Vamos analisar o sinal da segunda derivada em intervalos que envolvam essas raízes então. Os intervalos vão ser:

x < - 2 6 4

- 2 6 4 < x < 2 6 4

x > 2 6 4

Pro primeiro intervalo, vamos escolher, por exemplo, x = - 1 . Testanto então, temos:

f ' ' - 1 = 2 - 6 - 1 4 1 + - 1 4 2 = - 1 < 0

Pro segundo intervalo, vamos escolher, por exemplo, x = 0 . Testanto então, temos:

f ' ' 0 = 2 - 6 0 4 1 + 0 4 2 = 2 > 0

Pro terceiro intervalo, vamos escolher, por exemplo, x = 1 . Testanto então, temos:

f ' ' 1 = 2 - 6 1 4 1 + 1 4 2 = - 1 < 0

A concavidade então vai ser:

C ô n c a v o   p r a   c i m a →   - 2 6 4 < x < 2 6 4     C ô n c a v o   p r a   b a i x o →                       x < - 2 6 4 x > 2 6 4

Sendo assim, temos tudo pra esboçar o gráfico! Ele vai ficar:

Passo 4

E pra fechar a questão e partir pro abraço, vamos falar dos pontos de inflexão de f x . Como os pontos de inflexão são exatamente os pontos em que a concavidade muda, vamos ter que:

P o n t o   d e   i n f l e x ã o = R a í z e s   d e   f ' ' x

E já achamos essas raízes em! Os pontos de inflexão vão ser então:

x = ± 2 6 4

Resposta

  1. y = π 2
  2. C r e s c e n t e → x > 0
  3. x = ± 2 6 4

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