Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Esboce o gráfico de f x = x 3 e - x , determinando o seu domínio, os intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidades e assíntotas (caso existam).

Passo 1

Assim como o cara pediu no enunciado nós temos que dividir a análise do gráfico em domínio, análise do crescimento, análise de concavidade e assíntotas. Começamos no domínio:

f x = x 3 e - x

Como a gente vê, não há fator limitante para o domínio. Nosso domínio vai ser:

D o m :   R

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Passo 2

Vamos observar o crescimento da função; para isso analisamos o sinal da derivada primeira. Vamos derivar o termo pela Regra do Produto:

f ' x = x 3 e - x ' = x 3 ' e - x + x 3 e - x '

= 3 x 2 e - x - x 3 e - x = e - x 3 x 2 - x 3

= e - x x 2 3 - x

Como a exponencial e o x 2 são sempre positivos nós vemos que o sinal da derivada só depende de 3 - x . Com isso, a função é decrescente em ] 3 , ∞ [ e crescente em ] - ∞ , 3 [ .

Sobre pontos críticos, um apenas, em x = 3 . Como o termo é positivo antes e negativo depois, esse é um ponto de máximo, não havendo pontos de mínimo.

Passo 3

Vamos olhar a derivada segunda agora e a concavidade. Vamos, novamente pela Regra do Produto:

f ' ' x = e - x 3 x 2 - x 3 ' = e - x ' 3 x 2 - x 3 + e - x 3 x 2 - x 3 '

= e - x - 3 x 2 + x 3 + e - x 6 x - 3 x 2

= e - x x 3 - 6 x 2 + 6 x

= e - x x x 2 - 6 x + 6

Vamos procurar as raízes dessa parábola que apareceu:

x = - - 6 ± - 6 2 - 4 1 6 2 1 = 6 ± 36 - 24 2

= 6 ± 12 2 = 3 ± 3

Ou seja, a derivada segunda será:

f ' ' x = e - x x x - 3 - 3 x - 3 + 3

O sinal do f ' ' x vai depender de todos os termos que temos ali, menos a exponencial. Com isso, vamos observar concavidade com o quadro de sinais:

A gente vai reparar que a concavidade é para cima quando x ∈   ] 0,3 - 3   [   ∪   ] 3 + 3 , + ∞ [ e para baixo quando x está em ] - ∞ , 0   ∪   3 - 3 , 3 + 3 [ .

Ponto de inflexão em x = 0 , x = 3 - 3 e x = 3 + 3 .

Passo 4

Assíntotas agora. As verticais estão relacionadas com as descontinuidades, ou seja, não teremos nenhuma delas para essa função.

Para assíntotas horizontais temos que lançar o limite para + ∞ e - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e - x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 e x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 6 x e x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 6 e x

= 0

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 e - x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 e x = - ∞ 0

= - ∞

Uma assíntota horizontal em y = 0 . Ainda podemos ter uma assíntota oblíqua em x → - ∞ , vamos tentar:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 e - x x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = + ∞ 0

= ∞

Vemos que também não teremos assíntotas oblíquas

Passo 5

Agora reunimos as informações que já achamos:

- D o m :   R

- a   f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e   e m   ] 3 , ∞ [   e   c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , 3 [

- x = 3   s e r á   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

- c o n c a v i d a d e   é   p a r a   c i m a   q u a n d o   x ∈   ] 0,3 - 3   [   ∪   ] 3 + 3 , + ∞ [   e  

p a r a   b a i x o   q u a n d o   x   e s t á   e m   ] - ∞ , 0   ∪   3 - 3 , 3 + 3 [

- x = 0 ,   x = 3 - 3   e   x = 3 + 3     s ã o   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o

- A s s .   v . : - ; A s s .   h . : y = 0   ; A s s .   o . : -

Vamos para o esboço, sendo f 0 = 0 e f 3 = 27 e 3 :

Resposta

f i g u r a   a c i m a

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