Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja

f x = x x - 3 x + 3 2

  1. Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função f .
  2. Determine os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente. Encontre também os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos da função, assim como os respectivos valores da função nesses pontos.
  3. Determine os intervalos onde a função f é côncava para cima ou para baixo, assim como os seus pontos de inflexão.
  4. Use as informações dos itens (a)-(c) para esboçar o gráfico de f .

Passo 1

(a)

Vamos começar pelas assíntotas verticais. Elas aparecem em pontos onde a função não está definida.

A f só não está definida quando seu denominador se anular, isto é

x + 3 2 = 0 → x + 3 = 0 → x = - 3

E temos que

lim x → - 3 - ⁡ x x - 3 x + 3 2 = lim x → - 3 + ⁡ x x - 3 x + 3 2 = + ∞

Então de fato x = - 3 é uma assíntota vertical da f .

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Passo 2

Agora vamos pras assíntotas horizontais. Basta calcular os limites da função no infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x x - 3 x + 3 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 3 x x 2 + 6 x + 9 = ∞ ∞

Usando l’Hôpital:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 3 x x 2 + 6 x + 9 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 6 = - ∞ - ∞

∞ / ∞ ? L’Hôpital de novo!

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 6 = lim x → - ∞ ⁡ 2 2 = 1

Pro limite em + ∞ vai ser praticamente a mesma coisa, basta aplicar l’Hôpital várias vezes seguidas:

lim x → + ∞ ⁡ x x - 3 x + 3 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x x 2 + 6 x + 9

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x + 6 = lim x → + ∞ ⁡ 2 2 = 1

Então y = 1 é a única assíntota horizontal da f .

Passo 3

(b)

Nesse item precisamos da derivada da f . Sendo que

f x = x x - 3 x + 3 2 = x 2 - 3 x x + 3 2

Derivando com a regra do quociente :

f ' x = 2 x - 3 x + 3 2 - x 2 - 3 x . 2 x + 3 x + 3 4

Dividindo por x + 3 em cima e embaixo:

f ' x = 2 x - 3 x + 3 - 2 x 2 - 3 x x + 3 3

Desenvolvendo isso aí:

f ' x = 2 x 2 + 6 x - 3 x - 9 - 2 x 2 + 6 x x + 3 3

f ' x = 9 x - 9 x + 3 3 = 9 x - 1 x + 3 3

Passo 4

Pra descobrir como cresce a f , temos que estudar o sinal dessa derivada. Então vamos montar um quadro de sinais bonitinho.

Só uma observação antes:

x + 3 < 0 ⇔ x + 3 3 < 0

Ou seja:

x < - 3 ⇔ x + 3 3 < 0

x > - 3 ⇔ x + 3 3 > 0

Enfim, vamos ao quadro:

Daí, pelo teste da primeira derivada, concluímos que f é crescente no intervalo - ∞ ,   - 3 ∪ 1 ,   + ∞ e decrescente no intervalo - 3 ,   1 .

Passo 5

A questão também pediu os máximos e mínimos.

Vimos lá atrás que em x = - 3 a função explode pra + ∞ , lembra? Isso significa que f não tem ponto de máximo global.

E na verdade, isso significa também que f não tem ponto de máximo local! Os pontos de máximo local aparecem quando o sinal da derivada muda de + pra né? O único ponto onde isso acontece é x = - 3 , que é justamente o ponto onde a função explode pra infinito.

Já em x = 1 o sinal da derivada muda de pra + , e não temos nenhum problema de indeterminação em x = 1 , então esse ponto é um ponto de mínimo local.

O valor desse mínimo é:

f 1 = 1 1 - 3 1 + 3 2 = - 2 16 = - 1 8

Olhando o quadro de sinais e levando em conta que

lim x → ± ∞ ⁡ f x = 1

Podemos ver que x = 1 também é ponto de mínimo global da função.

Passo 6

(c)

Agora precisamos da derivada segunda da f . Lembrando que

f ' x = 9 x - 1 x + 3 3

Derivando de novo com a regra do quociente:

f ' ' x = 9 x + 3 3 - x - 1 3 x + 3 2 x + 3 6

Dividindo o numerador e o denominador por x + 3 2 :

f ' ' x = 9 x + 3 - 3 x - 1 x + 3 4 = 9 x + 3 - 3 x + 3 x + 3 4

⇒ f ' ' x = 9 6 - 2 x x + 3 4 = 18 3 - x x + 3 4

Passo 7

Como x + 3 4 > 0 ,     p r a   x ≠ - 3 , nem precisamos fazer quadro de sinal.

Basta ver o sinal de 3 - x :

f ' ' x > 0 ⇔ 3 - x > 0 ⇔ x < 3

f ' ' x < 0 ⇔ 3 - x < 0 ⇔ x > 3

Portanto, f tem concavidade para cima no intervalo - ∞ ,   3 e concavidade para baixo no intervalo 3 ,   + ∞ .

O único ponto de inflexão da f é onde a concavidade muda: x = 3 . E temos que

f 3 = 3 3 - 3 3 + 3 2 = 0

Passo 8

(d)

Podemos resumir todas as informações que achamos numa tabelinha:

Agora é só esboçar a criança:

Resposta

(a)

Assíntota vertical x = - 3

Assíntota horizontal: y = 1

(b)

Crescimento no intervalo - ∞ ,   - 3 ∪ 1 ,   + ∞

Decrescimento no intervalo - 3 ,   1

Ponto de mínimo local e absoluto: 1 ,   - 1 8

Não tem ponto de máximo.

(c)

Concavidade para cima no intervalo - ∞ ,   3

Concavidade para baixo no intervalo 3 ,   + ∞

(d)

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