Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f dada por

f x = x 2 x - 1

  1. Encontre, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f .
  2. Determine os pontos críticos de f , intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente.
  3. Encontre os extremos relativos e absolutos de f , caso existam.
  4. Determine os intervalos onde o gráfico da função possui concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo.
  5. Esboce o gráfico da função f .

Passo 1

(a)

Comecemos pelas assíntotas verticais!

Repare que:

x = 1 ⇒ x - 1 = 0

Ou seja, na hora de calcular f 1 , vamos ter   uma divisão por zero!

x = 1 é o único ponto causador de problema da função (não tem raiz quadrada nem logaritmo), portanto, o domínio da f é:

R \ 1

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Passo 2

Beleza, então x = 1 é nossa candidatata a assíntota vertical. Vamos calcular os limites laterais nela:

lim x → 1 - ⁡ x 2 x - 1 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ x 2 x - 1 = + ∞

Os limites explodiram pro infinito, então de fato x = 1 é assíntota vertical da f .

Passo 3

Agora vamos pras assíntotas horizontais.

Basta calcular os limites no infinito:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 1

Usando a regra de l’Hôpital (nem precisaria mas assim é mais rápido), isso dá:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 = + ∞

Da mesma forma, temos que:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 2 x 1 = - ∞

Bem, os 2 limites foram pro infinito, então f não tem nenhuma assíntota horizontal.

Passo 4

(b)

Essa questão toda quer nos levar até a letra (e), onde finalmente vamos esboçar o gráfico da função.

E pra isso temos que achar os pontos críticos da função. Diria que essa é talvez a etapa mais importante, porque com ela descobrimos onde a função cresce e onde ela decresce!

Enfim, vamos lá, derivando com a regra do quociente:

f ' x = 2 x x - 1 - x 2 . 1 x - 1 2

f ' x = 2 x 2 - 2 x - x 2 x - 1 2

⇒ f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

Passo 5

Ok, agora que temos a derivada vamos igualá-la a zero:

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2 = 0

Deixando o x em evidência no numerador:

x x - 2 x - 1 2 = 0

⇒ x = 0     o u     x = 2

Excelente! A função f tem 2 pontos críticos, um em x = 0 e outro em x = 2 .

Passo 6

Agora temos que determinar os intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente. E esses intervalos sobre os quais vamos nos debruçar (nossa que frase pedante) são:

- ∞ ,   0 ,     0 ,   2 ,     2 ,   + ∞

Vamos montar uma tabelinha pra estudar o sinal da derivada nesses intervalos:

Daí concluímos que:

  • f é crescente no intervalo - ∞ ,   0 ∪ 2 ,   + ∞
  • f é decrescente no intervalo 0 ,   2

Passo 7

(c)

Essa vai ser tranquila, já calculamos tudo que precisa!

Pelo teste da primeira derivada, x = 0 é um ponto de máximo local, e x = 2 é um ponto de mínimo local.

E vimos também lá atrás que

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Ou seja, a função não tem extremos absolutos!

Passo 8

(d)

Suave, só precisamos calcular a segunda derivada e estudar o sinal dela. Lembrando que:

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

Derivando de novo, com a regra do quociente:

f ' ' x = 2 x - 2 x - 1 2 - x 2 - 2 x . 2 x - 1 x - 1 4

Deixando o x - 1 em evidência no numerador:

f ' ' x = x - 1 2 x - 2 x - 1 - 2 x 2 - 2 x x - 1 4

Corta com o x - 1 do denominador, e desenvolve o resto:

f ' ' x = 2 x 2 - 2 x - 2 x + 2 - 2 x 2 + 4 x x - 1 3

Daí vai cortar um monte de coisa e sobrar só:

f ' ' x = 2 x - 1 3

Passo 9

Tranquilo de analisar o sinal disso, né?

f ' ' x = 2 x - 1 3 < 0 ⇒ x - 1 3 < 0

⇒ x - 1 < 0 ⇒ x < 1

Da mesma forma, temos que

f ' ' x = 2 x - 1 3 > 0 ⇒ x - 1 3 > 0

⇒ x - 1 > 0 ⇒ x > 1

Então concluímos que:

x < 1 ⇒ f ' ' x < 0 ⇒ f   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o x > 1 ⇒ f ' ' x > 0 ⇒ f   t e m   c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a

Passo 10

(e)

Show, agora “só” falta o esboço. Vamos fazer aquele resuminho maroto de todas as informações que descobrimos sobre a função ao longo da questão!

  • x ∈ - ∞ ,   0
  • Sabemos que nesse intervalo a função é crescente e tem concavidade pra baixo. Também temos que:

    lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

  • x = 0
  • Esse é um ponto de máximo local, e o valor da função nele é:

    f 0 = 0 2 0 - 1 = 0

  • x ∈ 0 ,   1
  • Nesse intervalo f é decrescente, e tem concavidade voltada pra baixo. Vimos que:

    lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞

    Ou seja, a função decresce bem rápido nesse intervalo!

  • x ∈ 1 ,   2
  • Sabemos que

    lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞

    E que f é decrescente, com concavidade voltada pra cima nesse intervalo.

  • x = 2
  • Ponto de mínimo local, e o valor de f   nele é:

    f 2 = 2 2 2 - 1 = 4

  • x ∈ 2 ,   + ∞

A função é crescente, com concavidade voltada pra cima, e:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Passo 11

Aqui está o esboço!

Resposta

(a)

Assíntota vertical: x = 1

Assíntota horizontal: não tem :/

(b)

Pontos críticos: x = 0 e x = 2

f é crescente no intervalo - ∞ ,   0 ∪ 2 ,   + ∞

f é decrescente no intervalo 0 ,   2

(c)

Extremos relativos: máximo local em 0 ,   0 , mínimo local em 2 ,   4

Extremos absolutos: não tem...

(d)

Concavidade voltada pra baixo: x < 1

Concavidade voltada pra cima: x > 1

(e)

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