Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a seguinte função

f x = x 5 e - x

a Encontre o domínio de f , os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos e analise a simetria de f .

b Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais de f .

c Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo e os seus valores.

d Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

a Não existem restrições de domínio para essa função. Sendo assim,

D o m : R

Quanto às interseções, vamos fazer x = 0 e ver que y achamos e vice-versa:

f 0 = 0 5 e 0 = 0

0 = x 5 e - x →   x = 0

A gente viu que f intercepta o eixo y e o eixo x simultaneamente. Em outras palavras, f intercepta os eixos na origem 0,0

Quanto à simetria da função, vemos que f é um produto entre um função de simetria ímpar x 5 com uma sem nenhuma simetria e - x , o que faz de f uma função sem simetria.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b As assíntotas verticais estão relacionadas com pontos de descontinuidades no domínio. Como vimos, o domínio é contínuo sempre, não havendo assíntotas verticais.

Para observar a existência das assíntotas horizontais vamos fazer os limites de f para x → ∞ e x → - ∞ :

lim x → ∞ ⁡ x 5 e - x → ∞ ( 0 )

Usaremos a Regra de L’Hospital nesse primeiro limite 5 vezes para fugir da indeterminação

lim x → ∞ ⁡ x 5 e x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 5 x 4 e x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 20 x 3 e x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 60 x 2 e x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 120 x e x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 120 e x

lim x → ∞ ⁡ 120 e x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 5 e - x = - ∞ ∞

= - ∞

Achamos só uma assíntota horizontal, y = 0 .

Passo 3

c Para observar crescimento e decrescimento da função e seus mínimos e máximos devemos analisar o sinal da derivada primeira de f . Vamos derivar a função que o enunciado deu então pela Regra do Produto:

f ' x = x 5 ' e - x + x 5 e - x '

= 5 x 4 e - x + x 5 - e - x

= e - x x 4 5 - x

Achamos, assim, a derivada de f . Podemos ver que o termo ( e - x x 4 ) será sempre positivo, já que é um produto de uma exponencial, que é sempre positiva, com um termo de expoente par. O sinal, portanto, só depende de 5 - x , que será positivo para x < 5 e negativo para x > 5 . Assim, a função é crescente em x < 5 e decrescente em x > 5 , sendo x = 5 um ponto crítico de máximo local, já que a derivada é positiva antes dele e negativa depois. Não há pontos de mínimo local.

Passo 4

d Para observar a concavidade da função temos que olhar o sinal da derivada segunda. Vamos derivar f ' pela Regra do Produto:

f ' ' x = e - x ' 5 x 4 - x 5 + e - x 5 x 4 - x 5 '

= - e - x 5 x 4 - x 5 + e - x 20 x 3 - 5 x 4

= e - x x 3 x 2 - 10 x + 20

Vamos usar Bhaskara para descobrir as raízes de x 2 - 10 x + 20 .

x = 10 ± 100 - 80 2 = 10 ± 2 5 2

x 1 = 5 + 5   ; x 2 = 5 - 5

Podemos reescrever a derivada dessa maneira:

e - x x 3 x - 5 - 5 x - 5 + 5

Fazemos um quadro dos sinais agora:

Vemos que f tem concavidade para cima em ] 0   ,   5 - 5   ∪   5 + 5   ,   ∞ [ e para baixo quando x está em ] - ∞ , 0   ∪   5 - 5   ,   5 + 5 [ . Temos pontos de inflexão em 5 - 5 e 5 + 5 .

Passo 5

e Vamos juntar todas as informações para esboçar o gráfico:

- D o m : R

- I n t e r s e ç ã o : 0,0

- f   n ã o   t e m   p a r i d a d e

- A s s .   V e r t i c a l :   -

- A s s .   H o r i z o n t a l : y = 0

-   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   x < 5   e   d e c r e s c e n t e   e m   x > 5

-   x = 5   é   m í n i m o   l o c a l .   N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l .

- C o n c a v i d a d e : p a r a   c i m a   e m   ] 0   ,   5 - 5   ∪   5 + 5   ,   ∞ [   ;

p a r a   b a i x o   e m   ] - ∞ , 0   ∪   5 - 5   ,   5 + 5 [

- P o n t o   d e   i n f l e x ã o : x = 5 + 5   ; x = 5 - 5

Vamos ao esboço:

Resposta

a   D o m : R   ;   I n t e r s e ç ã o : 0,0 ;   f   n ã o   t e m   s i m e t r i a

b   A s s .   V e r t i c a l : -   ;   A s s .   H o r i z o n t a l : y = 0

c   f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   x < 5   e   d e c r e s c e n t e   e m   x > 5 ,

  x = 5   é   m á x i m o   l o c a l .   N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l .

d   C o n c a v i d a d e : p a r a   c i m a   e m   ] 0   ,   5 - 5   ∪   5 + 5   ,   ∞ [   ;

p a r a   b a i x o   e m   ] - ∞ , 0   ∪   5 - 5   ,   5 + 5 [

p o n t o s   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 5 + 5   e   x = 5 - 5

e   f i g u r a   a c i m a

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