Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Questão 3:

Seja g a função dada por

g x = ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2 .

  1. Determine o domínio da função g .
  2. Determine o(s) intervalo(s) onde g é decrescente.
  3. Determine as equações das retas assíntotas horizontais e verticais do gráfico de g , caso existam.
  4. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de g e suas retas assíntotas, caso existam.

Passo 1

a )

Bem, vamos então analisar o domínio dessa parada:

Sempre começamos a análise de um domínio supondo que o domínio é o maior possível, ou seja, toda a reta real R . E depois vamos eliminando pedaços onde a função não funciona. Veja só:

Para começar, sabemos em uma fração, nunca podemos ter o denominador igual a zero...

g x = ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2         ⇒           x - 2 2 ≠ 0

Então nesse caso não podemos ter x = 2 . Repare que o domínio já se restringiu. Antes ele era todo o R agora ele é R tirando o x = 2 .

Mas ainda não acabou. Sabemos que em um logaritmo, o logarítmando dever ser maior que 0

2 x 2 - 8 x - 2 2 > 0

Bem, o denominador sempre é positivo por causa do quadrado. Mas não podemos falar o mesmo do nominador. Então temos que encontrar o domínio onde o denominador é maior que 0 ...

2 x 2 - 8 > 0

Encontrando os zeros dessa equação...

2 x 2 - 8 = 0     →           x 1 = 2 x 2 = - 2

Como esse cara é uma parábola com a concavidade pra cima...

Perceba que ela assume valores positivos nos intervalos...

- ∞ ,   - 2           e           2 ,   ∞

Com esse cara positivo, o logaritmando também é! Já sabíamos que 2 não podia entrar na brincadeira, mas ele já está incluído sesse intervalo, saca? Então o Domínio da função é esse são esses intervalos aí:

- ∞ ,   - 2           e           2 ,   ∞

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Cara, como precisamos avaliar o decrescimento, o que devemos fazer é avaliar o sinal da primeira derivada, afinal de contas...

f ' x < 0                       →                   f u n ç ã o   d e c r e s c e

Então bora derivar !

Passo 3

g x = ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2     →   g ' x = ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2 ' →

Aplicando a regra da cadeia para derivar...

g ' x = 1 2 x 2 - 8 x - 2 2 2 x 2 - 8 x - 2 2 '     →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 2 x 2 - 8 x - 2 2 ' →

Agora aplicando a regra da fração...

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 x - 2 2 2 x 2 - 8 ' - 2 x 2 - 8 x - 2 2 ' x - 2 2 2   →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 x - 2 2 4 x - 2 x 2 - 8 2 x - 2 x - 2 2 x - 2 2   →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 x - 2 2 4 x - 2 x 2 - 8 2 x - 4 x - 2 2 x - 2 2   →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 x 2 - 4 x + 4 4 x - 4 x 3 - 8 x 2 - 16 x + 32 x - 2 2 x - 2 2   →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 4 x 3 - 16 x 2 + 16 x - 4 x 3 + 8 x 2 + 16 x - 32 x - 2 2 x - 2 2   →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 - 8 x 2 + 32 x - 32 x - 2 2 x - 2 2   →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 - 8 x 2 + 4 x - 4 x - 2 2 x - 2 2 →

g ' x = x - 2 2 2 x 2 - 8 - 8 x - 2 2 x - 2 2 x - 2 2 →

g ' x = - 8 2 x 2 - 8

Passo 4

Temos então que analisar o sinal dessa função. Perceba que se o denominador for positivo, o a função derivada é negativa e essa é a única forma disso acontecer...

2 x 2 - 8 > 0

Como para todo domínio de g x , 2 x 2 - 8 > 0 , então a função derivada é sempre negativa no domínio de g , o que implica que g é sempre decrescente no seu domínio, saca?

g ' x < 0                       →                   f u n ç ã o   d e c r e s c e

Passo 5

c )

Bem, para analisar se o gráfico têm assíntotas horizontais, calculemos os limites da função tendendo aos infinitos...

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2

Como x está indo ao infinito, acho muito válido multiplicar e dividir por 1 / x 2 ...

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x 2 x - 2 2 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 8 x 2 x - 2 x 2 =

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 8 x 2 1 - 2 x 2 =

Quando x vai para o infinito, essa fração de x vai a 0 ...

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 1 2 = ln ⁡ 2

Quanto ao limite no infinito negativo...

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2 = lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 8 x 2 1 - 2 x 2

Quando o x vai pro negativo esses caras continua indo a zero igual a 0 ...

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 0 1 - 0 2 = ln ⁡ 2

Então a única assíntota horizontal que temos é...

y = ln ⁡ 2

Passo 6

Para averiguar se têm assíntotas verticais, calculemos o limite da função, mas agora indo para os dois pontos de problema da função (pontos de limites do domínio) no caso...

x = - 2         e       x = 2

lim x → - 2 - ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2       e         lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2

Calculando esse primeiro limite...

lim x → - 2 - ⁡ ln ⁡ 2 - 2 2 - 8 - 2 - 2 2 =

Quando esse cara tende a - 2 pela esquerda, ou seja, por valores menores que - 2 , como - 2,1 , esse termo 2 x 2 é um pouco maior que 8 , levando esse cara para o 0 + ...

lim x → - 2 - ⁡ ln ⁡ 2 - 2 2 - 8 - 2 - 2 2 = lim x → - 2 - ⁡ ln ⁡ 0 + = - ∞

Então x = - 2 é uma assíntota vertical.

Passo 7

Calculando o outro limite...

lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2

Como 2 x 2 - 8 = 2 x 2 - 4 = 2 x - 2 x + 2 ...

lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2 = lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ 2 x - 2 x + 2 x - 2 x - 2 =

lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ 2 x + 2 x - 2

Quando esse cara vai a 2 pela direita , essa fração vai ao infinito positivo...

lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ 2 x + 2 x - 2 = lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ + ∞ = + ∞

Logo, x = 2 é uma outra assíntota vertical

Passo 8

c )

Para desenhar o gráfico dessa função g , vamos unir as informações que conseguimos até agora, ou seja:

O domínio da função é de - ∞ ,   - 2           e           2 ,   ∞ .

A função é inteiramente decrescente nesse domínio.

Além disso, quando lim x → 2 + ⁡ ln ⁡ 2 x + 2 x - 2 = + ∞ e lim x → - 2 - ⁡ ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2 = - ∞ .

Quando x vai ao infinito positivo ela tende a reta assíntota ln ⁡ 2 , e quando x vai ao infinito negativo ela também tende a essa reta...

Só podemos estar falando de...

Onde as assíntotas são essas retas aí saca? :D

Resposta

a )     D o m g = - ∞ ,   - 2 ∪ 2 ,   ∞

b )   g   é   d e c r e s c e n t e   e m   s e u   d o m í n i o

c )

Assíntotas horizontais: x = - 2 e x = 2 .

Assíntotas verticais: y = ln ⁡ 2

d )

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