Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f   : - π ,   2 π → R dada por:

f x = 2 π + x - cos ⁡ x

  1. Determine, caso exista(m), o(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f .
  2. Determine, caso exista(m), o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.
  3. Faça um esboço do gráfico de f indicando explicitamente o(s) ponto(s) de máximo, de mínimo e de inflexão. Esboce também a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f no(s) ponto(s) em que a derivada é zero e no(s) ponto(s) de inflexão.

Passo 1

a )

Cara, como precisamos avaliar crescimento ou decrescimento, o que devemos fazer é avaliar o sinal da primeira derivada, afinal de contas...

f ' x > 0                       →                   f u n ç ã o   c r e s c e

f ' x < 0                       →                   f u n ç ã o   d e c r e s c e

Então bora derivar !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f x = 2 π + x - cos ⁡ x   →

Derivando...

f ' x = 1 - - sin ⁡ x

f ' x = 1 + sin ⁡ x

Agora é só analisar o sinal dessa função derivada... Como estamos falando da função seno, seu gráfico é a senoide, com período 2 π :

Mas... estamos falando de um deslocamento em y de uma unidade pra cima, afinal a função derivada é o seno somado com 1 ...

Perceba, que como o seno é no máximo - 1 , a função derivada 0 em alguns pontos, mas ela é sempre maior ou igual a 0 , então a função cresce no intervalo de - π ,   2 π , mas não decresce.

Passo 3

b )

Analisar concavidades é outra análise de sinal, mas dessa vez da segunda derivada...

f ' ' x > 0           →                 c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a

f ' ' x < 0           →                 c o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o

Derivando a primeira derivada...

f ' x = 1 + sin ⁡ x           →

f ' ' x = cos ⁡ x

O gráfico do cosseno também é um gráfico bem conhecido. Passa por 1 quando x é 0 e tem o período também de 2 π ...

Repare no gráfico do cosseno que ele tem intervalos positivos e negativos... Então:

f ' ' x > 0           →               - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 ,   2 π

f ' ' x < 0           →               - π , - π 2 ∪ π 2 ,   3 π 2

De - π 2 a π 2 e também de 3 π 2 até 2 π , a concavidade é pra cima, enquanto que nos outros intervalos, onde f ' ' x < 0 , a concavidade é para baixo.

Passo 4

c )

Para esboçar o gráfico, vãos reunir todas as informações até agora:

  • Sabemos que a função é inteiramente crescente no intervalo de – π a 2 π , e que a derivada zera nos pontos onde o gráfico da primeira derivada encosta no eixo x ...
  • Quanto a concavidade...

f ' ' x > 0           →               - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 ,   2 π           C o n c .   p r a   c i m a

f ' ' x < 0           →               - π , - π 2 ∪ π 2 ,   3 π 2           C o n c .   p r a   b a i x o

Então a curva tem mais ou menos esse aspecto...

Resposta

a )

Função é crescente de - π ,   2 π

b )

- π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 ,   2 π           C o n c .   p r a   c i m a

- π , - π 2 ∪ π 2 ,   3 π 2           C o n c .   p r a   b a i x o

c )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas