Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = s e n x ,   x = π

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafioo!?

O primeiro passo aqui é a gente lembrar da equação da reta tangente!!!

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

Onde x 0 é o ponto de interesse nosso que foi dado no problema!

Então olhando pra equação da reta tangente, o que a gente vai precisar encontrar? Bem, primeiro precisamos calcular y 0 e depois f ' x 0 .

Para calcular y 0 a gente vai precisar pegar nossa f x 0 = y 0 , em outras palavras, uma vez que o enunciado nos deu a função e conhecemos o ponto x 0 desejado, conseguimos calcular tranquilamente o valor de y 0 , certo?

Passo 2

Vamos calcular quem será nosso y o quando x 0 = π

y 0 = s e n x 0 = s e n π = 0

Show!! Agora partiu calcular a derivada da f x 0 e depois substituir o valor de x 0 por 2!

Para essa derivada, vamos precisar lembrar sobre a seguinte propriedade:

d d x s e n ( x )

Aplicando a regra do quociente, temos;

d d x s e n x = c o s ⁡ ( x )

Substituindo agora x 0 = π

f ' x 0 = cos ⁡ x o = cos ⁡ π = - 1

Passo 3

Usando a equação da reta:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

y = - 1 x - π

y = π - x

Passo 4

Para a construção do gráfico de uma reta, podemos conhecer dois pontos e depois ligar os mesmos. Então, por exemplo, um bom ponto pra partirmos é ver qual valor y assumirá quando x = 0 .

y = π

Logo, temos o par x , y = 0 , π

Agora quando y = 0 , qual será o valor de x ?

0 = π - x

x = π

Logo, temos: x , y = ( π , 0 ) .

Resposta

y = x - π

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