Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x - 2 a r c t g ( x )

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.

Depois vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0, beleza?

Passo 2

Vamos então derivar

f ' x = 1 - 2 x 2 + 1

f ' ' x = - 4 x x 2 + 1 2 = 0

x = 0

Portanto, nosso ponto de inflexão é x = 0

Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Agora que a gente sabe o ponto de inflexão, vamos testar alguns valores para vermos o sinal da derivada, beleza?

x > 0

x < 0

Passo 3

Vamos testar no primeiro intervalo com x = 1

f ' ' 1 = 1 > 0

Para o segundo intervalo vamos testar -1

f ' ' - 1 = - 1 < 0

Temos então que a concavidade é pra cima quando f ' ' > 0 e pra baixo quando f ' ' < 0

Temos então que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]  

Resposta

x = 0   é o ponto de inflexão e que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2