Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Seja f x = e - 1 x x .

( a ) Determine o domínio de f e os intervalos de crescimento e decrescimento de f .

( b ) Verifique que f ' ' x = e - 1 x 2 x 2 - 4 x + a x 5 . Determine a e estude a concavidade de f .

( c ) Calcule os limites necessários e esboce o gráfico de f .

Passo 1

( a ) Para pensarmos em crecimento e decrescimento de f temos que observar o sinal da derivada primeira. Vamos calcular f ' ( x ) pela Regra do Quociente:

f ' x = e - 1 x ' x - e - 1 x x ' x 2 = e - 1 x x 2 x - e - 1 x x 2

= e - 1 x x 2 1 x - 1

Como o termo exponencial e - 1 x é sempre positivo e o x 2 é uma potência par, sendo positivo também, vemos que o sinal só depende de 1 x - 1 . Vou buscar a região onde 1 x - 1 é maior que 0 para, a partir disso, determinar onde é crescente, sendo o resto do domínio decrescente, à excessão do ponto x = 1 que é onde f ' x = 0 e x = 0 , que não está definido no domínio:

1 x - 1 > 0 → 1 - x x > 0

Fazendo o quadro de sinais:

Vamos que f será crescente em quando x estiver no intervalo ] 0,1 [ e decrescente quando x pertencer a ] - ∞ , 0   ∪   1 , ∞ [ , sendo que em x = 1 teremos um ponto crítico de máximo, já que a derivada é positiva antes de e negativa depois de x = 1 , sendo nula no ponto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular a derivada segunda de f :

f ' x = e - 1 x x 2 1 x - 1 = e - 1 x ( 1 - x ) x 3

Vamos usar a Regra do Produto e do Quociente:

f ' ' x = e - 1 x 1 - x ' x 3 - e - 1 x 1 - x x 3 ' x 6

= e - 1 x ' 1 - x + e - 1 x 1 - x ' x 3 - e - 1 x 1 - x x 3 ' x 6

= e - 1 x x 2 1 - x - e - 1 x x 3 - e - 1 x 1 - x 3 x 2 x 6

= e - 1 x x 6 1 x 2 - 1 x - 1 x 3 - 3 x 2 + 3 x 3

= e - 1 x x 6 x - 4 x 2 + 2 x 3

= e - 1 x 2 x 2 - 4 x + 1 x 5

Ora, comparando com o formato da derivada apresentada no enunciado da letra b nós notamos que a constante a vai valer 1 .

Passo 3

Analisando agora os intervalos de concavidade para cima e para baixo da função, devemos observar o sinal de f ' ' ( x ) . Sabemos, já que a exponencial será sempre positivo. A parábola de cima ( 2 x 2 - 4 x + 1 ) pode ter seu sinal analisado levando em conta que é côncava para cima e tem duas raízes que podemos descobrir por Bhaskara. Já o x 5 será positivo para x > 0 e negativo para x < 0 . Vamos descobrir as raízes da parábola do denominador e fazer o quadro dos sinais:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 4 ± 16 - 8 4

= 1 ± 2 2

O quadro fica assim então:

Logo, a concavidade é para cima quando x está em ] 0,1 - 2 2 [   ∪   ] 1 + 2 2 , ∞ [ e para baixo quando x pertence a ] - ∞ , 0   ∪   1 - 2 2 , 1 + 2 2 [ . Temos pontos de inflexão em 1 + 2 2 e 1 - 2 2 .

Passo 4

Vamos primeiro buscar as assíntotas horizontais usando o limite de f em ± ∞ :

lim x → ∞ ⁡ e - 1 x x = 0 ∞ → 0

lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x x = 0 - ∞ → 0

Achamos uma mesma assíntota horizontal, y = 0 para ± ∞ , o que significa que não existem assíntotas oblíquas também. Para assíntotas verticais devemos usar o limite onde o domínio da função não está definido:

lim x → 0 + ⁡ e - 1 x x = lim x → 0 + ⁡ 1 x e 1 x = ∞ e ∞ → ∞ ∞

Para fugir da indeterminação vamos usar L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ 1 x e 1 x → L ' H lim x → 0 + ⁡ - 1 x 2 e 1 x - 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ e - 1 x = e - ∞ = 0

lim x → 0 - ⁡ e - 1 x x = lim x → 0 - ⁡ 1 x e 1 x = - ∞ e - ∞ = - ∞ 0 → - ∞

Concluímos, portanto, que em x = 0 temos uma assíntota vertical, porém do lado de x > 0 a função se aproxima de 0 tendendo a y = 0 . Para valores de x < 0 ela se aproxima de - ∞ .

Passo 5

Agora podemos esboçar o gráfico, com as informações que possuímos:

- Domínio de f corresponde a R - { 0 } .

- f será crescente em quando x estiver no intervalo ] 0,1 [ e decrescente quando x pertencer a ] - ∞ , 0   ∪   1 , ∞ [ , sendo que em x = 1 teremos um ponto crítico de máximo.

- A concavidade é para cima quando x está em ] 0,1 - 2 2 [   ∪   ] 1 + 2 2 , ∞ [ e para baixo quando x pertence a ] - ∞ , 0   ∪   1 - 2 2 , 1 + 2 2 [ . Temos pontos de inflexão em 1 + 2 2 e 1 - 2 2 .

- Assíntota horizontal: y = 0 ; Assíntota vertical: x = 0 .

O gráfico será algo parecido com isso:

Resposta

( a ) f   s e r á   c r e s c e n t e   e m   q u a n d o   x   e s t i v e r   n o   i n t e r v a l o   ] 0,1 [  

e   d e c r e s c e n t e   q u a n d o   x   p e r t e n c e r   a   ] - ∞ , 0 [   ∪   ] 1 , ∞ [ .    

E m   x = 1   t e r e m o s   u m   p o n t o   c r í t i c o   d e   m á x i m o .

b A   c o n c a v i d a d e   é   p a r a   c i m a   q u a n d o   x   e s t á   e m ] 0,1 - 2 2 [   ∪   ] 1 + 2 2 , ∞ [   e  

p a r a   b a i x o   q u a n d o   x   p e r t e n c e   a   ] - ∞ , 0   ∪   1 - 2 2 , 1 + 2 2 [ .

  T e m o s   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o   e m   1 + 2 2   e   1 - 2 2 .

c ( f i g u r a   a c i m a )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas