Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f : R \ 1 → R uma função com segunda derivada contínua e tal que:

f - 2 = - 2 f - 1 = - 3 lim x → - ∞ ⁡ f x = - 1 lim x → 1 - ⁡ f x = + ∞ lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞ f ' x > 0     e m     - 1 ,   1 f ' x < 0     e m     - ∞ ,   - 1 ∪ 1 , + ∞ f ' ' x < 0     e m     - ∞ ,   - 2 ∪ 3 ,   + ∞ f ' ' x > 0     e m     - 2 ,   1 ∪ 1 ,   3

  1. Determine lim x → + ∞ ⁡ f x . Qual o número de raízes f x = 0 que a função possui?
  2. Esboce, destacando todos os pontos relevantes, o gráfico de f x .

Passo 1

Basicamente essa é uma questão de esboço de gráfico em que (quase) todas as informações já foram dadas, e cabe a nós interpretá-las.

(a)

Antes do esboço, ele pediu o limite em x → + ∞ e o número de raízes da função.

Vamos começar pelo limite. As informações que temos sobre a função em x → + ∞ são:

f ' x < 0     e m     - ∞ ,   - 1 ∪ 1 + ∞ f ' ' x < 0     e m     - ∞ ,   - 2 ∪ 3 ,   + ∞

E sabemos que

f ' x < 0 → f   é   d e c r e s c e n t e

f ' ' x < 0 → f   t e m   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Portanto, para x → + ∞ , f é decrescente e côncava para baixo, então inevitavelmente teremos

lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞

Não está convencido? Pegue um pedaço de papel e desenhe uma curva decrescente e côncava para baixo!

Não tem como tender para um valor constante, fatalmente irá pra - ∞ . Assim como uma curva crescente côncava pra cima tende para + ∞ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos às raízes. O crucial aqui é selecionar as informações certas do monte que foi dado.

Vamos varrer o R todo, de - ∞ a + ∞ e ver o que está acontecendo com essa função.

Lá em x → - ∞ , temos

lim x → - ∞ ⁡ f x = - 1 < 0

E temos que

f ' x < 0     e m     - ∞ ,   - 1

→ f   é   d e c r e s c e n t e   e m   - ∞ ,   - 1

Portanto, não temos nenhuma raiz de - ∞ a - 1 . Aliás, foi dado f - 1 = - 3 < 0 .

Passo 3

Só que acontece que f ' x > 0     e m     - 1 ,   1 → f   é crescente em - 1 ,   1 .

Opa, então nesse intervalo pode ser que tenha uma raiz. Só uma porque se a função só cresce sem parar, não tem como ela cruzar o eixo x mais de uma vez.

E de fato, no intervalo - 1 ,   1 tem uma raiz, já que

lim x → 1 - ⁡ f x = + ∞

Em x = - 1 tínhamos um valor negativo ( f - 1 = - 3 ) e agora, nos aproximando de x = 1 , a função explodiu pra + ∞ , que é obviamente positivo.

Ok, então de - ∞ a 1 temos uma raiz.

Passo 4

Agora a informação importante é que f ' x < 0     e m     1 , + ∞ → f é decrescente em 1 ,   + ∞ . Ou seja, pode ser que tenha uma raiz no intervalo 1 ,   + ∞ .

Mas peraí, a gente viu lá atrás que

lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞

A função que estava lá pra + ∞ nas redondezas de x = 1 depois decresce pra - ∞ quando x → + ∞ , então certamente temos uma raiz no intervalo 1 ,   + ∞ .

Resumindo: uma raiz em - ∞ ,   1 + uma raiz em 1 , + ∞ a função f tem 2 raízes.

Passo 5

(b)

Repare que em x = - 1 , o sinal da derivada muda de pra + , então o ponto - 1 ,   - 3 é um ponto de mínimo local.

Além disso, em x = - 2 , o sinal da derivada segunda muda, também de –   pra + , então o ponto - 2 ,   - 2 é um ponto de inflexão. Ah, e x = 3 também é ponto de inflexão, só não sabemos o valor de f 3 .

Outra coisa: como

lim x → - ∞ ⁡ f x = - 1

Então y = - 1 é uma assíntota horizontal do gráfico.

Também temos uma assíntota vertical em x = 1 , já que

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞

Passo 6

Enfim, juntando todas as informações obtemos o esboço:

Resposta

(a)

lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞

f tem 2 raízes.

(b)

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