Considere a função f dada por f x = x + 2 - ln ⁡ x + 2 2

  1. Encontre, caso existam, as assíntotas verticais de f .
  2. Determine os pontos críticos de f , intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente.
  3. Encontre os extremos relativos e absolutos de f , caso existam.
  4. Mostre que f é côncava para cima.
  5. Esboce o gráfico de f .

Passo 1

(a)

Está bem, temos uma questão de esboço aqui, vamos letra por letra. Começando pela letra a , vamos determinar as assíntotas verticais da função. Essas assíntotas ocorrem nos pontos onde a função não está definida.

Como precisamos que o que esteja dentro do log seja sempre positivo, então temos que:

x + 2 2 > 0

Como o termo ao quadrado é sempre zero ou positivo, isso será verdade para x ≠ - 2 . Assim, vamos calcular o limite neste ponto. Pela direita e esquerda

lim x → - 2 + ⁡ f x = lim x → - 2 + ⁡ x + 2 - ln ⁡ x + 2 2 = 0 - ln ⁡ 0 → + ∞

De maneira semelhante:

lim x → - 2 - ⁡ f x → + ∞

Como o limite não existe nesse ponto, temos uma assíntota vertical aqui.

Passo 2

Vamos para a letra b agora. Para determinar os pontos críticos, que ocorrem quando a derivada é zero ou não existe, e os intervalos de crescimento e decrescimento precisamos derivar a função. Então vamos lá:

f ' x = x + 2 - ln ⁡ x + 2 2 '

Para facilitar nossa vida, usamos a propriedade: ln ⁡ a b = b ln ⁡ a e deixamos: f ' x = 1 - 2 ln ⁡ x + 2 ' = 1 - 2 x + 2 = x x + 2

A derivada não existe quando o denominador zera, em x = - 2 . E será zero quando o numerador for zero, neste caso. Quando x = 0 . Assim, os pontos críticos são:

x = - 2 x = 0

Vamos analisar o crescimento agora. Para tal, analisamos o sinal do numerador e denominador e fazemos um quadro de sinais, marcando os pontos onde o sinal muda.

Pela tabela, a função cresce para x < - 2 e x > 0 e decresce para - 2 < x < 0 .

Passo 3

(c)

Vamos agora determinar os extremos. Temos x = 0 e x = - 2 como pontos críticos. Voltando a tabela lá do passo anterior, vemos que a derivada é menor que zero à esquerda de x = 0 e maior que zero à direita desse ponto. Dessa maneira, pelo teste da primeira derivada, esse é um ponto de mínimo.

Para x = - 2 , desconsideramos, pois já vimos que temos uma assíntota ali. Para verificar se o ponto que achamos é mínimo global, vamos aplicar o limite: lim x → - ∞ ⁡ x + 2 - ln ⁡ x + 2 2 = - ∞ - ∞ = - ∞

Ou seja, existem valores menores que esse mínimo e ele será, portanto, apenas local. Nem precisamos calcular o limite para x → ∞ .

Passo 4

Vamos ver agora a letra d . Será que a função é côncava para cima sempre? Para saber, vamos derivar novamente. Pela regra do quociente:

f ' ' x = x x + 2 ' = x ' x + 2 - x x + 2 ' x + 2 2 = x + 2 - x x + 2 2 = 2 x + 2 2 > 0

Portanto é sim, sempre côncava para cima.

Passo 5

Agora finalmente, a letra e . A partir dos dados obtidos em cada um dos itens, chegamos ao gráfico:

Que tem assíntota vertical em x = - 2 , indo para infinito à esquerda e à direita, como mostrou:

lim x → - 2 + ⁡ f x = lim x → - 2 - ⁡ f x = ∞

Que cresce para x < - 2 e x > 0 e decresce para - 2 < x < 0 e tem mínimo em x = 0 . Além disso, a função vai para menos e mais infinito nos extremos esquerdo e direito, respectivamente, conforme vimos no passo 3 .

Resposta

  1. Assíntota vertical em x = - 2 .
  2. A função cresce para x < - 2 e x > 0 e decresce para - 2 < x < 0 . Pontos críticos em x = - 2 e x = 0 .
  3. Mínimo local em x = 0 .
  4. f ' ' x = 2 / x + 2 2 > 0 .

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