Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = ln ⁡ ( s e n   x )

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D   de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que o logaritmo natural não é definido para número negativos, então podemos escrever que:

s e n   x ≥ 0 ⇒ 0 ≥ x ≥ π ⇒ 2 n π ≥ x ≥ 2 n + 1 π     s e n d o   n   u m   n ú m e r o   i n t e i r o

Assim, temos que:

D = x ∈ I R 2 n π ≥ x ≥ 2 n + 1 π     }

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f 0   n ã o   e s t á   d e f i n i d o

0 = ln ⁡ ( s e n   x ) ⇒ e 0 = e ln ⁡ ( s e n   x ) ⇒ 1 = s e n   x ⇒ x = π 2  

Ou de forma genérica, podemos escrever: x = 2 n π + π 2 , sendo n um número inteiro.

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f - x = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x ≥ 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f - x = - f x para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x ≥ 0   em 180   g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f x + p = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Como a função está definida somente para x ≥ 0 , os casos i e ii não ocorrem.

Para o caso iii, temos:

f x + 2 π = f ( x ) , logo a função é períodca com período 2 π .

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se lim x → ∞ ⁡ f x = L     e lim x → - ∞ ⁡ f x = L ,   então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que lim x → ∞ ⁡ f x = ∞   ( o u - ∞ ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

lim x → a + ⁡ f x = ∞                                                         lim x → a - ⁡ f x = ∞

lim x → a + ⁡ f x =   - ∞                                                   lim x → a - ⁡ f x =   - ∞

Temos:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( s e n   x )   D i v e r g e

Assim, não há assíntota horizontal .

Tomando x = 2 n π , temos:

lim x → ( 2 nπ ) + ⁡ ln ⁡ ( s e n   x ) = - ∞

Tomando x = 2 n + 1 π , temos:

lim x → 2 n + 1 π - ⁡ ln ⁡ s e n   x =   - ∞

Logo, temos assíntotas verticais ao longo do eixo em x = n π .

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f ' x = 1 s e n ( x ) cos ⁡ ( x ) = c o t g   x   > 0

Por consequência:

2 n π < x < 2 n π + π 2

Então, f é crescente em 2 n π , 2 n π + π 2 e quando f ' < 0 ,   2 n π + π 2 < x < 2 x + 1 π e f é decrescente em ( 2 n π + π 2 , 2 n + 1 π ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' c = 0 ou f ' c n ã o   e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f ' x = 0 ⇒ c o t g x = 0 ⇒ x = π 2

Observamos que a equação é satisfeita de forma geral para x = 2 n π + π 2 .Logo a função cresce antes dele e decresce depois dele, sendo então um ponto de máximo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f ' ' x > 0 a função é côncava para cima e se f ' ' x < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f ' x = c o t g ( x ) ⇒ f ' ' x =   - csc 2 ⁡ ( x ) < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 2 n π , 2 n + 1 π ) e não possui concavidade para cima.

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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