Considere a função:

f x = x 3 e x

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = 3 x - 2 x 2 2 e x x

f ' ' x = 4 x 3 - 12 x 2 + 3 x 4 x e x x

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

Passo 1

Encontremos o domínio então. Quais valores x pode assumir de forma que não vai dar nenhuma coisa do tipo 1 / 0 , ou 0 / 0 ? Precisamos garantir que aquele denominador não vai dar zero. Mas como e x é uma função que nunca zera, então podemos escolher qualquer valor de x .

Mas não para por aí: ainda temos a raiz quadrada do denominador! Se eu escolher um número negativo qualquer, o denominador “tá de boas” mas o numerador vai dar uma coisa estranha tipo - 1 ou - 8 e isso não pode! Bem, já que é assim, vamos ter então que o domínio vai ser:

D f = x   ∈ R   x ≥ 0 }

Passo 2

As assíntotas horizontais saem pelos limites abaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x

lim x → - ∞ ⁡ x 3 e x

Como essa função já não tá definida mesmo pra x < 0 , só precisamos nos preocupar com o primeiro limite. Fazendo ele obtemos:

∞ ∞

E não é que é algo que podemos tirar por L’Hospital? Então vamo que vamo:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 2 e x → L H →   lim x → + ∞ ⁡ 3 2 x 1 2 e x

Ok, se fizemos o limite de lim x → + ∞ ⁡ 3 2 x 1 2 e x continuamos com ∞ ∞ . Mas isso n tem problema algum, só realizar L’Hospital de novo. Aí ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ 3 2 x 1 2 e x → L H →   lim x → + ∞ ⁡ 3 4 x - 1 2 e x = 3 4 lim x → + ∞ ⁡ 1 e x x

Opa, agora as coisas mudaram! Aplicando o limite vamos ter:

3 4 lim x → + ∞ ⁡ 1 e x x = 3 4 1 + ∞ = 0

Então sim, temos uma assíntota horizontal e ela vai ser y = 0

Já as assíntotas verticais, o normal seria a gente fazer limites tendendo à valores que baguncem com o denominador ou numerador, gerando indeterminações. Mas como já vimos que a função está definida em x ≥ 0 , não tem nenhum valor candidato pra gente checar.

Poderíamos até tentar fazer f 0 mas nem o primeiro valor do domínio gera indeterminação, saca só: f 0 = 0 3 e 0 = 0 1 = 0

Pois é, sem assíntotas verticais dessa vez. No entanto, pra esboçar o gráfico lá na frente, guarda o que acabou de ver, que f 0 = 0 .

Passo 3

Os intervalos onde a função é crescente são aqueles onde a derivada é positiva:

f ' x > 0

E decrescente onde ela é negativa:

f ' x < 0

Portanto:

f ' x = 3 x - 2 x 2 2 e x x

Pra gente saber quando ela é positiva e quando é negativa vamos ter que ver o sinal em intervalos que envolvam alguns pontos interessantes. Esses pontos nada mais vão ser do que os pontos que a primeira derivada zera e os pontos que ela não existe!

Beleza, então vamos nessa

f ' x = 3 x - 2 x 2 2 e x x = 0

3 x - 2 x 2 = 0

2 x 2 = 3 x

x = 0     e   x = 3 2

Mas x = 0 não vale porque se escolhêssemos esse valor e calculássemos f ' 0 , iríamos achar uma indeterminação! Então temos só uma raiz pra primeira derivada:

x = 3 2

Agora, os pontos em que a derivada não existe são os que fazem:

2 e x x = 0

x = 0

Beleeeza, então os intervalos tem que ser montados usando os pontos x = 0 e x = 3 2 . Vamos ter então esses três:

x < 0

0 < x < 3 2

x > 3 2

Opa, uma macete aqui cai bem: como a gente já sabe que a função não está definida pra x < 0 , já descartamos logo. Então pro segundo intervalo, vamos ver, por exemplo, x = 1 . Vamos ter: f ' 1 = 3.1 - 2 . 1 2 2 e 1 1 = 1 2 e > 0

E pro segundo intervalo, vamos usar, por exemplo, x = 2 . Vamos ter f ' 2 = 3.2 - 2 . 2 2 2 e 2 2 = - 1 e 2 2 < 0

Os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser então

Crescente = x ∈ R     0 <   x < 3 2 }

Decrescente = x ∈ R       x > 3 2 }

Passo 4

Os máximos e mínimos ocorrem onde a derivada é igual a zero.

f ' x = 0 ⟹ x = 3 2

Agora a questão é analisar a troca de sinal em torno desses pontos. Em x = 1 , antes da raiz temos que a derivada é positiva e em x = 2 , ponto depois da raiz, a derivada é negativa. Portanto, estamos olhando na verdade pra um ponto de máximo.

Como com o x → + ∞ a função também tende para 0 , esse ponto de máximo é na verdade um ponto e máximo global!

Passo 5

Os intervalos da concavidade correspondem ao sinal da derivada segunda:

f ' ' x = 4 x 3 - 12 x 2 + 3 x 4 x e x x

E aí precisamos fazer a mesma coisa: ver pontos em que a segunda derivada zera e pontos em que ela não existe. Só de olhar pro denominador, vemos que:

4 x e x x = 0   s e   x = 0

Então x = 0 é um dos pontos. Guarda ele aí. Agora, quais pontos zeram, temos que fazer:

4 x 3 - 12 x 2 + 3 x = 0

x 4 x 2 - 12 x + 3 = 0

O que é verdade quando x = 0 e/ou quando 4 x 2 - 12 x + 3 = 0 . No segundo caso, a resposta sai por Bhaskara. Então simbora:

4 x 2 - 12 x + 3 = 0

x 1,2 = - - 12 ± - 12 2 - 4.4 . 3 2.4

x 1,2 = 12 ± 144 - 48 8 = 12 ± 4 6 8 = 3 ± 6 2

E como a função não está definida mesmo pra x < 0 , os intervalos que vamos analisar vão ser:

0 < x < 3 - 6 2

3 - 6 2 < x < 3 + 6 2

x > 3 + 6 2

Como:

3 - 6 2 ≅ 0,27

3 + 6 2 ≅ 2,72

Pra testar o primeiro intervalo, vamos usar, por exemplo, x = 0,2 . Vamos ter:

f ' ' 0,2 = 4 0,2 3 - 12 0,2 2 + 3 0,2 4 0,2 e 0,2 0,2 ≅ 0,35 > 0

Pro segundo intervalo, vamos usar, por exemplo, x = 2 . Vamos ter:

f ' ' 2 = 4 2 3 - 12 2 2 + 3 2 4 2 e 2 2 ≅ - 0 , 12 < 0

E pro último intervalo, vamos usar, por exemplo, x = 3 . Vamos ter:

f ' ' 2 = 4 3 3 - 12 3 2 + 3 3 4 3 e 3 3 ≅ 0 , 02 > 0

Como a concavidade é pra cima quando a segunda derivada é positiva e pra baixo quando ela é negativa, temos então que ela vai ser pra cima nos intervalos

0   ;   3 - 6 2 ∪ 3 + 6 2   ;   + ∞

E para baixo em:

3 - 6 2   ;   3 + 6 2

E os pontos de inflexão são:

x = 3 - 6 2

x = 3 + 6 2

Passo 6

Obtemos o gráfico:

Resposta

  1. D f = x   ∈ R   x ≥ 0 }
  2. Única assíntota é horizontal: y = 0
  3. C r e s c e n t e = x ∈ R     0 <   x < 3 2 } D e c r e s c e n t e = x ∈ R       x > 3 2 }  
  4. x = 3 2 é um ponto de máximo global
  5. C o n c .   p r a   c i m a = 0   ;   3 - 6 2 ∪ 3 + 6 2   ;   + ∞   C o n c .   p r a   b a i x o = 3 - 6 2   ;   3 + 6 2  

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