Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a curva:

y = x - 3 x 3

Esboce o gráfico da curva determinando, caso existam: Assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos, extremos relativos (locais), concavidades e pontos de inflexão.

Passo 1

Para deixar os cálculos mais claros: y = x - 3 x 1 / 3

Para começar o esboço, vamos determinar as interseções com os eixos cartesianos. Para o eixo x , temos y = 0 :

0 = x - 3 x 1 / 3 ⟹ x = 3 x 1 / 3

Elevando ao cubo:

x 3 = 27 x ⟹ x 3 - 27 x ⟹ x x 2 - 27 = 0

Então temos:

x = 0 x = 3 3 x = - 3 3

Para o eixo y , temos x = 0 :

y = 0 - 3 ⋅ 0 = 0

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Passo 2

Vamos determinar as assíntotas agora. As assíntotas verticais ocorrem nos pontos que não pertencem ao domínio. Como a função não tem restrições ao domínio, então não teremos assíntotas verticais.

Vamos para as assíntotas horizontais. Para calculá-las, vamos determinas os limites nos extremos:

lim x → ∞ ⁡ x - 3 x 1 / 3 = ∞ - ∞

Temos aqui uma indeterminação sacana, vamos tentar sair dela. Deixando o x em evidência: lim x → ∞ ⁡ x - 3 x 1 / 3 = lim x → ∞ ⁡ x 1 - 3 x 1 / 3 x = lim x → ∞ ⁡ x 1 - 3 x - 2 / 3 =

lim x → ∞ ⁡ x 1 - 3 x 2 / 3 = ∞ 1 - 0 = ∞

De maneira análoga:

lim x → - ∞ ⁡ x - 3 x 1 / 3 = - ∞

Como o limite não existe, então não há assíntotas horizontais também!

Passo 3

Vamos determinar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para tal, precisamos da derivada, então vamos derivar: y ' = x - 3 x 1 / 3 ' = 1 - 3 ⋅ 1 3 ⋅ x 1 / 3 - 1 =

y ' = 1 - x - 2 / 3

Precisamos determinar os pontos onde a derivada é maior ou menor que zero. Para tal, vamos determinar as raízes:

y ' = 0 ⟹ 1 - x - 2 / 3 = 0 ⟹ 1 = 1 x 2 / 3 ⟹ x 2 / 3 - 1 = 0

Então, temos que y ' > 0 , para x > 1 e x < - 1 e y ' < 0 e - 1 < x < 1 . Então, a função é crescente para x > 1 e x < - 1 e decrescente para - 1 < x < 1 .

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem quando a derivada é zero ou não existe. Pela expressão da derivada:

y ' = 1 - x - 2 / 3

Isso ocorre quando x = 0 , já que teremos: 0 - 2 / 3 = 1 0 2 / 3

Que não existe. E x = ± 1 , onde a derivada zera.

Passo 5

Vamos determinar agora os pontos de máximo e mínimo. Os pontos de máximo e mínimo ocorrem nos pontos críticos. Vimos no passo anterior, que x = 0 e x = ± 1 são os pontos críticos.

No passo 3 , vimos que a derivada tem o mesmo sinal tanto à esquerda quanto à direita de x = 0 , logo, esse ponto não é nem de máximo, nem de mínimo.

Da mesma forma, vimos que a derivada é negativa à esquerda de x = 1 e positiva à direita de x = 1 , logo, pelo teste da primeira derivada, esse é um ponto de mínimo.

Finalmente, para x = - 1 , a derivada é positiva à esquerda e negativa à direita e trata-se, portanto, de um ponto de máximo.

Passo 6

Vamos agora para a concavidade. Para tal, precisamos calcular a segunda derivada, então vamos derivar novamente:

y ' ' = 1 - x - 2 / 3 ' = + 2 3 x - 5 / 3 = 2 3 x 5 3

Pela expressão, y ' ' > 0 , para x > 0 e y ' ' < 0 para x < 0 . Logo, a função é côncava para cima para x > 0 e côncava para baixo para x < 0 .

Por fim, os pontos de inflexão ocorrem quando a função troca de concavidade, o que acontece justamente em x = 0 .

Passo 7

Ufa! Agora, usando os dados que obtivemos nos passos anteriores, chegamos ao gráfico:

Os pontos em destaque são, da esquerda para à direta, o ponto x = - 3 3 da interseção com o eixo y , o ponto de máximo em x = - 1 , o ponto de interseção, crítico e de inflexão em x = 0 , os pontos de mínimo x = 1 e, finalmente, a interseção x = 3 3 .

Resposta

Interseção: x = - 3 3 , x = 0 , x = 3 3 .

Crescimento: x < - 1 e x > 1 .

Decrescimento: - 1 < x < 1 .

Pontos críticos: x = 0 , x = ± 1 .

Ponto de máximo: x = - 1 .

Ponto de mínimo: x = 1 .

Côncava para baixo: x < 0 .

Côncava para cima: x > 0 .

Ponto de inflexão: x = 0 .

Esboço:

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