Considere a função f x com derivadas f ' x e f ' ' x dadas por: f x = 16 x 2 - 67 x + 16 8 x - 1 x - 8 f ' x = 504 1 - x 2 8 x - 1 2 x - 8 2 f ' ' x = 1008 2 x + 5 4 x 2 - 10 x + 13 8 x - 1 3 x - 8 3

  1. Dê o domínio de definição de f .
  2. Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  3. Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos onde a função f é crescente e onde é decrescente.
  4. Encontre os pontos de inflexão de f , se houver, e os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
  5. Usando as informações anteriores, faça um esboço do gráfico de f x .

Passo 1

Vamos resolver letra por letra. Começando pela (a), vamos ver qual é o domínio de f . Segundo o dado no enunciado, temos:

f x = 16 x 2 - 67 x + 16 8 x - 1 x - 8

Observando a expressão, vemos que f é uma razão de polinômios, ou seja, uma função racional. Funções racionais tem como domínio os números reais exceto nos pontos onde o denominador zera. Isso acontece para: 8 x - 1 = 0 ⟹ x = 1 8

x - 8 = 0 ⟹ x = 8

Então x = 1 / 8 e x = 8 não fazem parte do domínio da função: D f = x ∈ R   |   x ≠ 1 8     e   x ≠ 8  

Passo 2

Show, vamos determinar as assíntotas horizontais e verticais agora. As verticais podem acontecer nos pontos de restrição do domínio. Então, vamos testá-la para x = 1 / 8 e x = 8 , usando limites laterais.

lim x → 1 8 - ⁡ f x = lim x → 1 8 - ⁡ 16 x 2 - 67 x + 16 8 x - 1 x - 8 = 16 ⋅ 1 64 - 67 ⋅ 1 8 + 16 0 + 1 8 - 8

  O denominador está indo para zero, enquanto o numerador está indo para uma constante diferente de zero, isso fará com que o nosso limite vá para infinito. Resta saber se para mais infinito ou menos infinito.

Para isso, vamos ver os sinais: 16 ⋅ 1 64 - 67 ⋅ 1 8 + 16 = 1 4 - 8 - 3 8 + 16 = - 1 8 + 8 > 0

1 8 - - 8 < 0

Logo temos:

+ - ⏟ x → 1 8 - - → +     ∴     + + ⏟ x → 1 8 + - - → -

Assim:

lim x → 1 8 - ⁡ f x = ∞

Da mesma forma:

lim x → 1 8 + ⁡ f x = - ∞

Como os limites vão para infinito, temos uma assíntota vertical em x = 1 / 8 . Vamos testar para x = 8 :

lim x → 8 - ⁡ f x = 16 ⋅ 64 - 67   ⋅ 8 + 16 8 ⋅ 8 - 1 0 -

Como:

16 ⋅ 64 - 67   ⋅ 8 + 16 = 504 > 0

8 ⋅ 8 - 1 > 0

Então:

lim x → 8 - ⁡ f x = - ∞ Novamente:

lim x → 8 + ⁡ f x = ∞

Assim, temos também uma assíntota vertical em x = 8 . Resta calcular as assíntotas horizontais. Elas são testadas para os extremos, então temos:

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ 16 x 2 - 67 x + 16 8 x - 1 x - 8 = lim x → ∞ ⁡ 16 x 2 - 67 x + 16 8 x 2 - 65 x + 8

Dividindo tudo pela maior potência, x 2 :

lim x → ∞ ⁡ 16 - 67 / x + 16 / x 2 8 - 65 / x + 8 / x 2 = 16 8 = 2

Da mesmíssima forma:

lim x → - ∞ ⁡ f x = 2

Então, também temos uma assíntota horizontal em y = 2 .

Passo 3

Na letra (c), precisamos determinar os pontos críticos, os extremos relativos (máximos e mínimos) e o intervalo onde a função é crescente e decrescente.

Para isso, precisamos da derivada de f , mas graças a Goku, a questão já deu:

f ' x = 504 1 - x 2 8 x - 1 2 x - 8 2

Opa! Agora sim. Vamos começar com os pontos críticos. Eles ocorrem onde a derivada é zero ou não existe! A derivada é zero para quando 1 - x 2 = 0 . Ou seja, para x = ± 1 . Então esses pontos serão pontos críticos.

A derivada não existe para quando o denominador zera, ocorrendo novamente em x = 1 / 8 e x = 8 , que também serão pontos críticos.

Vamos determinar o intervalo onde a função é crescente e decrescente, para isso, montamos uma tabelinha com os termos de f ' e pontos críticos e analisamos o sinal:

Através da tabela, também concluímos que x = - 1 é um ponto de mínimo, pois a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita desse ponto. De forma contrária, dá para ver que x = 1 é um ponto de máximo.

Passo 4

Para continuar, precisamos da segunda derivada, que também foi marotamente fornecida:

f ' ' x = 1008 2 x + 5 4 x 2 - 10 x + 13 8 x - 1 3 x - 8 3

A concavidade é determinar pelo sinal da segunda derivada. Se positiva, é côncava para cima, se negativa, côncava para baixo.

Então vamos tentar montar uma tabela parecida com passo anterior, mas antes precisamos determinar os zeros de f ' ' , que ocorrem em: 2 x + 5 = 0 ⟹ x = - 5 2

4 x 2 - 10 x + 13 não possui raízes reais e é sempre positivão. Assim sendo, nossa tabela vai ficar:

Sendo os pontos de inflexão os pontos onde a função troca de concavidade, então o ponto de inflexão será x = - 5 2 . OBS.: Apesar de os pontos x = 1 8 e x = 8 também serem pontos onde a função troca de concavidade, eles não fazem parte do domínio da função D f = x ∈ R   |   x ≠ 1 8     e   x ≠ 8   .

Passo 5

Agora, marcando as assíntotas, os pontos críticos e de inflexão, chegamos no gráfico:

Resposta

  1. D f = x ∈ R   |   x ≠ 1 8     e   x ≠ 8  
  2. Assíntotas verticais:
  3. x = 1 8

    x = 8

    Assíntota horizontal:

    y = 2

  4. Pontos críticos: x = ± 1 ; x = 1 / 8 ; x = 8 . Mínimo em x = - 1 e máximo em x = 1 . Crescente para - 1 < x < 1 .
  5. Côncava para cima para x ∈ - 5 / 2 , 1 / 8 ∪ ( 8 , ∞ ) .

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