Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Teorema Fundamental do Cálculo

Seja f x = x 2 x

a Determine o domínio de f

b Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de f

c Determine os pontos de máximo e de mínimo de f

d Determine todas as assíntotas da curva y = f x

e Esboce o gráfico de f contemplando tudo que foi calculado acima

Passo 1

a No termo da função f x temos um limitante do domínio. Repare no seguinte, posso reescrever a função assim:

f x = x 2 x = x 2 x

f x = e ln ⁡ x 2 x

Por propriedade do logaritmo, coloco o expoente para fora:

f x = e 2 x ln ⁡ x

Aqui é mais fácil de visualizar: o ln ⁡ x pede que seu argumento, x , seja sempre maior que 0 .

x > 0

Com isso,

D o m :   ] 0 , + ∞ [

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Passo 2

b Vamos derivar f pela Regra da Cadeia o termo que achamos no Passo 1 :

f ' x = e 2 x ln ⁡ x ' = 2 x ln ⁡ x ' e 2 x ln ⁡ x

= 2 x ' ln ⁡ x + 2 x ln ⁡ x ' e 2 x ln ⁡ x

= 2 ln ⁡ x + 2 x 1 x e 2 x ln ⁡ x

= 2 ln ⁡ x + 2 e 2 x ln ⁡ x

Repare que e 2 x ln ⁡ x é sempre positivo, pois é uma exponencial. Com isso, quem comanda o sinal da derivada e o crescimento da função é o 2 ln ⁡ x + 2 . Não precisamos nem fazer o quadro de sinais desse termo, já que é um só:

2 ln ⁡ x + 2 = 0

2 ln ⁡ x = - 2

ln ⁡ x = - 1

x = e - 1

Logo, a derivada é positiva para valores maiores que x = e - 1 e negativa para valores menores que esse x .

Dado isso, a função será crescente em ] e - 1 , + ∞ [ e decrescente em ] 0 , e - 1 [ , como indicado acima.

Passo 3

c Para analisar os pontos de mínimo e máximo procuramos pontos de mudança do sinal da derivada. Quando vai de positiva para negativa, temos máximo. Quando negativa para positiva, temos mínimo.

Assim, x = e - 1 é ponto de mínimo e não temos ponto de máximo.

Passo 4

d Procuramos por assíntotas. Sabemos que as verticais estão relacionadas com descontinuidades no domínio. Sendo assim, vamos ver o limite lateral para 0 + na descontinuidade x = 0 explode para ± ∞ :

lim x → 0 + ⁡ e 2 x ln ⁡ x = e 0 + ∞ → i n d e t e r m i n a ç ã o Focando só no expoente:

lim x → 0 + ⁡ 2 x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 2 x → L ' H lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 2 x 2

= lim x → 0 + ⁡ - 2 x = 0

Logo, não temos assíntotas verticais em x = 0 e nem em nenhum outro ponto.

Passo 5

Vamos olhar agora por assíntotas horizontais. Como o domínio é ] 0 , + ∞ [ , só fazemos para + ∞ :

lim x → ∞ ⁡ e 2 x ln ⁡ x = e + ∞ + ∞ = ∞

Não existem assíntotas horizontais, já que o limite explodiu para + ∞ .

Passo 6

e Agora partiríamos para o esboço. Antes vamos fazer a análise da derivada segunda, que nos dá informações sobre a concavidade do gráfico. Achamos a derivada segunda pelas Regras de derivação do Produto e do Quociente:

f ' ' x = 2 ln ⁡ x + 2 ' e 2 x ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x + 2 e 2 x ln ⁡ x '

= 2 x e 2 x ln ⁡ x + 2 ln ⁡ x + 2 2 ln ⁡ x + 2 e 2 x ln ⁡ x

= e 2 x ln ⁡ x 2 x + 2 ln ⁡ x + 2 2

Repara, a função será sempre positiva no domíno x > 0 , já que a exponencial e o termo ao quadrado são sempre positivos e 2 x terá sinal positivo quando x > 0 .

Logo, concavidade sempre para cima

Agora, juntando tudo que vimos na questão, temos o seguinte:

- D o m :   ] 0 , + ∞ [

- f   é   c r e s c e n t e   e m   ] e - 1 , + ∞ [ ; é   d e c r e s c e n t e   e m   ] 0 , e - 1 [

- P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = e - 1

- A s s .   v e r t i c a l : -   ; A s s .   h o r i z o n t a l : -

- f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   s e m p r e

Assim, o gráfico será:

Resposta

a   D o m :   ] 0 , + ∞ [

b   f   é   c r e s c e n t e   e m   ] e - 1 , + ∞ [ ; é   d e c r e s c e n t e   e m   ] 0 , e - 1 [

c   P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = e - 1

d   N ã o   h á   a s s í n t o t a s

e   f i g u r a   a c i m a

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