Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere uma função f : R → R tal que as suas três primeiras derivadas são contínuas e f 3 = f ' 3 = 0 . Além disso, f satisfaz as seguintes propriedades:

f ' ' 3 = 0 e f ' ' não se anula fora de 3 ;

f ' ' ' 3 > 0 .

O que se pode concluir a respeito da concavidade do gráfico de f à direita e à esquerda de 3 ? Faça um esboço de um gráfico compatível com essas informações. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Opa! Vamos com calma nessa questão aqui, analisando cada um dos dados. A questão pediu o que podemos concluir a respeito da concavidade de f na região de x = 3 . Para tal, é interessante analisar a segunda derivada f ' ' , mas também são úteis as demais derivadas.

Com isso, o problema nos deu f 3 = f ' 3 = 0 . Isso nos leva a concluir que x = 3 é raiz de f e x = 3 também é ponto crítico de f .

Show, só que f ' ' 3 = 0 . Isso significa que x = 3 também é um ponto de inflexão.

Além disso, f ' ' não se anula fora de x = 3 . Ou seja, para x ≠ 3 :

f ' ' < 0 ou f ' ' > 0

Está bem, mas até aqui não pudemos concluir muita coisa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O pulo do gato está justamente no fato de que f ' ' ' 3 > 0 . O que isso significa? Bem, se considerarmos outra função g = f ' , então temos que:

g ' 3 = f ' ' 3 = 0

Ou seja, x = 3 é um ponto crítico de g . Da mesma forma:

g ' ' 3 = f ' ' ' 3 > 0

Ou seja, a segunda derivada de g é positiva em x = 3 . Se a segunda derivada é positiva e x = 3 também é um ponto crítico, então, pelo teste da segunda derivada, x = 3 é um ponto mínimo de g .

Isso significa que g ' < 0 à esquerda de x = 3 e g ' > 0 à direita de x = 3 . Mas, ao mesmo tempo: g = f ' ⟹ g ' = f ' '

Logo, f ' ' < 0 à esquerda de x = 3 e f ' ' > 0 à direita de x = 3 . Ou seja, a função é côncava para baixo à esquerda de x = 3 (carinha triste) e côncava para cima à direita de x = 3 . (carinha feliz).

Passo 3

Já fizemos grande parte da questão, mas ainda precisamos dar um exemplo de função com essas propriedades.

Repare que a função vai acumulando raiz, ponto crítico, ponto de inflexão etc. Um bom exemplo de função assim, é o x 3 . Por que? Porque:

h x = x 3 ⟹ h ' x = 3 x 2 ⟹ h ' ' x = 6 x ⟹ h ' ' ' x = 6

No ponto x = 0 :

h 0 = 0 ; h ' 0 = 0 ; h ' ' 0 = 0 ; h ' ' ' 0 > 6

Temos todas as propriedades dadas no problema, só que precisamos que isso seja verdade para x = 3 . Para tal, vamos deslocar a função três unidades para direita:

h x - 3 = f x = x - 3 3

Pronto! Chegamos na função que queríamos. Ela vai ter o mesmo gráfico de x 3 , só que deslocado três unidades para direita, como propomos na formação da função!

Resposta

A função é côncava para baixo à esquerda de x = 3 (carinha triste) e côncava para cima à direita de x = 3 .

f x = x - 3 3

É um bom exemplo para f .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas