Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a função f x = x ln ⁡ x , definida para x > 0 e x ≠ 1 .

  1. Calcule
  2. i lim x → 0 + ⁡ f x

    i i lim x → + ∞ ⁡ f x

    i i i lim x → 1 - ⁡ f x

    i v lim x → 1 + ⁡ f x

  3. Determine, se existirem:
    1. As assíntotas verticais e horizontais de f ;
    2. Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente;
    3. Os pontos de máximo e mínimo locais e/ou globais (abscissa e ordenada);
    4. Os intervalos onde f tem concavidade para cima (convexa), concavidade para baixo (côncava) e os pontos de inflexão de f ;
  4. Faça um esboço do gráfico de f

Passo 1

a)

i)

Vamos começar calculando o limite pedido

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Vamos olhar o limite de cada parcela da fração

lim x → 0 + ⁡ x = 0

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Então

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = 0 - ∞ = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

ii)

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x

Vamos olhar o limite de cada parcela da fração

lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x = + ∞

Então vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , vamos aplicar L’Hôspital

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ x ' ln ⁡ x '

lim x → + ∞ ⁡ x ' ln ⁡ x ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 / x = lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x = + ∞

Passo 3

iii)

lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x = 1 ln ⁡ 1 = 1 0 = ∞

Não colocamos o sinal do infinito ainda, vamos discutir um pouco sobre isso.

Esse sinal depende apenas do limite do logaritmo, isso é porque ele vai para zero, que pode ser pelo lado direito ou esquerdo.

Como o valor de ln ⁡ x é menor que zero quando x < 1 teremos

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ x = 0 -

Então

lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x = - ∞

Passo 4

iv)

lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x = 1 ln ⁡ 1 = 1 0 = ∞

Não colocamos o sinal do infinito ainda, vamos discutir um pouco sobre isso.

Esse sinal depende apenas do limite do logaritmo, isso é porque ele vai para zero, que pode ser pelo lado direito ou esquerdo.

Como o valor de ln ⁡ x é maior que zero quando x > 1 teremos

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x = 0 +

Então

lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x = + ∞

Passo 5

b)

i)

Como x > 0 , para acharmos as assíntotas horizontais devemos fazer

lim x → + ∞ ⁡ f x

Que já fizemos no item a

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x = + ∞

Então não temos assíntotas horizontais.

Passo 6

Para as assíntotas verticais devemos achar os limites nos pontos onde o denominador será zero, se esse limite der , ele será uma assíntota vertical.

No caso, ln ⁡ x é zero quando x = 1 , já calculamos na letra a seu limite

lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞

Então x = 1 é uma assíntota vertical.

Passo 7

ii)

Para olharmos se a função é crescente ou decrescente devemos calcular primeiro sua derivada

f ' x = x ln ⁡ x '

Aplicando a regra do quociente

f ' x = x ln ⁡ x ' = 1 ⋅ ln ⁡ x - x ⋅ 1 x ln ⁡ x 2

f ' x = ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x 2

Vamos agora analisar o sinal desta fração, fazendo o quadro de sinais. Antes devemos ver onde o numerador é zero e onde o denominador é zero.

No denominador, já vimos que ln ⁡ x = 0 ⇒ x = 1

Enquanto isso, devemos resolver

ln ⁡ x - 1 = 0

ln ⁡ x = 1

x = e

Vamos ao quadro se sinais

As “bolas” abertas significam q o ponto não está no gráfico.

Os intervalos onde a função é crescente são aqueles onde a derivada é positiva:

f ' x > 0

E decrescente onde ela é negativa:

f ' x < 0

Temos

1 > x > 0 e > x > 1 ⇒ decrescente x > e ⇒ crescente

Passo 8

iii)

Pelo quadro de sinais sabemos que quando a derivada muda de sinal temos um ponto de extremo local

Então

x = e

É um ponto de extremo local, como ele troca do negativo para o positivo ele é um mínimo local.

P mínimo local = e , f e = e , e ln ⁡ e = e , e

Passo 9

iv)

Para olharmos a concavidade devemos achar f ' ' x

f ' ' x = ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x 2 '

Aplicando a regra do quociente

f ' ' x = ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x 2 ' = 1 x ⋅ ln ⁡ x 2 - ln ⁡ x - 1 ⋅ 2 ln ⁡ x ⋅ ( ln ⁡ x ) ' ln ⁡ x 4

1 x ⋅ ln ⁡ x 2 - ln ⁡ x - 1 ⋅ 2 ln ⁡ x ⋅ ( ln ⁡ x ) ' ln ⁡ x 4 = ln ⁡ x 2 x - 2 ln ⁡ x ln ⁡ x - 1 ⋅ 1 / x ln ⁡ x 4

f ' ' x = ln ⁡ x 2 x - 2 ln ⁡ x ln ⁡ x - 1 x ln ⁡ x 4 = ln ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ x 2 + 2 ln ⁡ x x ln ⁡ x 4

f ' ' x = - ln ⁡ x 2 + 2 ln ⁡ x x ln ⁡ x 4 = ln ⁡ x 2 - ln ⁡ x x ln ⁡ x 4

f ' ' x = 2 - ln ⁡ x x ln ⁡ x 3

Passo 10

Vamos fazer o quadro de sinais.

Para isso devemos primeiro achar

2 - ln ⁡ x = 0

ln ⁡ x = 2

x = e 2

Vamos ao quadro

Temos

1 > x > 0 ⟹ Côncavo para baixo e 2 > x > 1 ⟹ Cô ncavo para cima x > e 2 ⟹ Côncavo para baixo

O ponto de inflexão acontece quando a concavidade muda, temos um pontos de inflexão

P inflexão = e 2 , f e 2 = e 2 , e 2 ln ⁡ e 2 = e 2 , e 2 2

Passo 11

-

c)

O esboço do gráfico fica

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