1 0 . Seja y = f ( x ) uma função contínua em x ∈ R     x ≠ 0   } . Suponha que o gráfico da derivada f ' seja dado pela figura abaixo:

Considere as seguintes afirmações sobre o gráfico de f :

I   7 , f 7 é necessariamente um ponto de mínimo local.

I I   3 ,   f 3 é necessariamente um ponto de máximo local.

I I I   f 3 é necessariamente o valor máximo absoluto.

I V   - 5 ,   f - 5 é necessariamente um ponto de inflexão.

Selecione a alternativa correta:

A : As afirmações ( I I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I ) e ( I I ) são falsas

B : Todas as afirmações são falsas

C : As afirmações ( I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I ) e ( I I I ) são falsas

D : Todas as afirmações são verdadeiras

E : As afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras e ( I I I ) e ( I V ) são falsas

Passo 1

Vamos juntos detonar essa questão!

Temos que avaliar o gráfico de f ' e ver que informações podemos tirar sobre f .

Quando o gráfico de f ' passa pelo zero temos que f vai ter um valor de mínimo ou máximo naquele ponto.

Quando temos valores máximos e mínimos no gráfico de f ' temos geralmente pontos de inflexão em f .

Sabendo disso vamos avaliar cada afirmação do enunciado.

Passo 2

Vamos começar com a ( I ) .

Ela diz que 7 ,   f 7 é um ponto de mínimo local, mas se olharmos o gráfico de f ' vemos que ela não passa por zero nesse ponto, então não tem como f ter um ponto de mínimo em 7 , f 7 .

Essa afirmação é falsa.

Passo 3

Vamos analisar a ( I I ) .

Temos que ver se 3 , f 3 é um ponto de máximo local. Olhando o gráfico de f ' vem que ela passa em zero nesse ponto, então já tem chances desse ponto ser um máximo, mas temos que garantir que ele é um máximo e não mínimo.

Para vermos isso vamos avaliar o valor de f ' antes de 3 e depois de 3 , já que quando f ' > 0   , temos uma f crescente e quando temos f ' < 0 temos uma f decrescente.

Antes de 3 a f ' > 0 então f está crescendo, depois de 3 temos f ' < 0 , então f está decrescendo, então quer dizer que ela cresce até atingir um máximo em 3 e depois decresce.

Então essa afirmação nos falou a verdade.

Passo 4

Agora vamos avaliar a I I I .

Para que f ( 3 ) seja um máximo absoluto, então f 3 > f ( x ) .

Mas olhando o gráfico de f ' vemos que ela diverge pra x → 0 , então quer dizer que f também diverge nessa mesma situação, ainda mais que que x = 0 não faz parte do domínio de f .

Então f ( 3 ) não é sempre maior que um f ( x ) qualquer, logo a firmação é falsa.

Passo 5

Vamos para a última afirmação.

Temos que ver se - 5 , f - 5 é um ponto de inflexão, olhando gráfico de f ' a gente ver que nesse ponto a função tem um mínimo, então ela tem um ponto de inflexão ali, então a afirmação é verdadeira.

Então temos que as afirmações ( I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I ) e ( I I I ) são falsas, então nossa escolha da vez é a letra C .

Resposta

C : As afirmações ( I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I ) e ( I I I ) são falsas

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