Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a função:

f x = x x 2 - 1 3

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 3

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 3

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

Passo 1

Encontremos o domínio então. Quais valores x pode assumir de forma que não vai dar nenhuma coisa do tipo 1 0 , ou 0 0 ? Precisamos garantir que aquele denominador não vai dar zero. Aqui vale a observação de não tem problema o termo da raiz ser negativo, já que ela é cúbica. Portanto:

x 2 - 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ ± 1

Segue que:

D f = { x   ∈ R   |   x   ≠ ± 1 }

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Passo 2

As assíntotas horizontais saem pelos limites abaixo:

lim x → ∞ ⁡ x x 2 - 1 3

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 - 1 3

Pondo x 2 em evidência pra fora da raiz cúbica:

lim x → ∞ ⁡ x x 2 3     1 - 1 / x 2 3 = lim x → ∞ ⁡ x 1 3 1 - 1 / x 2 3 = ∞

Mesma coisa com o outro:

lim x → - ∞ ⁡ x 1 3 1 - 1 / x 2 3 = - ∞

Ou seja, não tem assíntotas horizontais.

Já as verticais, vamos pelo limite pra bagunçar esse denominador:

lim x → 1 + ⁡ x x 2 - 1 3 = ∞

lim x → 1 - ⁡ x x 2 - 1 3 = - ∞

Portanto uma assíntota vertical é x = 1 . Se considerarmos o ponto x = - 1 , temos a mesma situação:

lim x → - 1 + ⁡ x x 2 - 1 3 = ∞

lim x → - 1 - ⁡ x x 2 - 1 3 = - ∞

Assim, temos outra assíntota vertical em x = - 1 .

Passo 3

Os intervalos onde a função é crescente são aqueles onde a derivada é positiva:

f ' x > 0

E decrescente onde ela é negativa:

f ' x < 0

Portanto:

f ' x = x 2 - 3 3   x 2 - 1 4 3

Façamos, então, análise do sinal. Quais fatores influenciam no sinal? Aqueles que não tem expoente par. Por exemplo, o fator no denominador x 2 - 1 4 não influencia, já que é sempre positivo. Portanto, resta analisar x 2 - 3 :

f ' x > 0 ⟹ x 2 - 3 > 0

x 2 - 3 > 0 ⟹ x > 3     ou     x < - 3

Mesma coisa com o intervalo onde f é decrescente:

f ' x < 0 ⟹ x 2 - 3 < 0

x 2 - 3 < 0 ⟹ - 3 < x < 3

Com o detalhe que os pontos em que x = ± 1 não fazem parte do domínio, portanto os intervalos são:

Crescente = x ∈ R       x < - 3   ∪ x > 3 }

Decrescente = x ∈ R       3 > x > - 3     e     x ≠ ± 1 }

Passo 4

Os máximos e mínimos ocorrem onde a derivada é igual a zero:

f ' x = 0 ⟹ x = ± 3

Agora a questão é analisar a troca de sinal em torno desses pontos. Em x = 3 temos que a derivada é negativa antes e positiva depois, portanto é um ponto de mínimo.

Em x = - 3 a derivada é positiva antes e negativa depois, portanto é um ponto de máximo.

Como com o x → ± ∞ a função também tende para + ∞ e - ∞ , não há máximo nem mínimo globais. Ambos são locais.

Passo 5

Os intervalos da concavidade correspondem ao sinal da derivada segunda:

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 3

Infelizmente agora toda uma série de funções vão entrar na nossa análise. Vamos precisar recorrer à nossa tabelinha da marotagem. As funções no caso são essas três:

Funções = { x ,     9 - x 2 ,     x 2 - 1 }

Destrinchando melhor, pra ficar mais fácil, temos:

9 - x 2 = ( 3 - x ) ( 3 + x )

x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

Portanto, acredito que fique melhor escrever assim:

Funções ' = x ,     3 - x ,     3 + x ,     x - 1 ,     x + 1

Seus zeros são:

Zeros = 0,3 , - 3,1 , - 1

E é em torno deles que vamos construir nossa tabela. Segue:

Multiplicando os sinais, chegamos ao sinal da derivada segunda:

Portanto, a concavidade é para cima em:

- ∞ , - 3 ∪ - 1 ,   0 ∪ ( 1 ,   3 )

E para baixo em:

- 3 , - 1 ∪ 0 ,   1 ∪ ( 3 , ∞ )

E os pontos de inflexão são:

x = 0

x = 3

x = - 3

Passo 6

-

Obtemos o gráfico:

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