Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere f x = x 3                                           ,       s e   x < 0 arctg ⁡ x 2               ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Esboce o gráfico da função.

Passo 1

( a ) Para descobrir se a função é contínua no x = 0 temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em x < 0 e outra em x ≥ 0 :

lim x → 0 - ⁡ x 3 = 0 3 = 0

lim x → 0 + ⁡ arctg ⁡ x 2 = arctg ⁡ 0 = 0

Ora, os limites laterais batem, então a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   s i m   e m   x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f x - arctg ⁡ 0 x

= lim x → 0 ⁡ f x x

Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ f x x = lim x → 0 + ⁡ arctg ⁡ x 2 x = 0 0

Para fugir da indeterminação usamos L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ arctg ⁡ x 2 x = lim x → 0 + ⁡ x 2 ' 1 + x 2 2 x '

= lim x → 0 + ⁡ 2 x 1 + x 4 1 = lim x → 0 + ⁡ 2 x 1 + x 4 = 0 1 + 0

= 0

Vamos fazer agora para x → 0 - :

lim x → 0 + ⁡ x 3 x = lim x → 0 + ⁡ x 2 = 0

Como vemos, os limites laterais da definição da derivada bateram, o que significa que f x é derivável em x = 0 .

Passo 3

( b ) Vamos calcular os dois limites pedidos:

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x 2

= π 2

Caso não tenha entendido, esse aqui é o gráfico do arco tangente, cuja imagem fica sempre dentro do intervalo - π 2 , π 2 :

O outro limite agora:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 = - ∞

Pelos cálculos dos limites notamos que há uma assíntota horizontal: y = π 2 . Como não temos descontinuidades na função nós não temos assíntotas verticais.

Passo 4

( c ) Vamos derivar a função f x :

f x = x 3                                           ,       s e   x < 0 arctg ⁡ x 2               ,       s e   x ≥ 0

f ' x = x 3 '                                         ,       s e   x < 0 arctg ⁡ x 2 '               ,       s e   x ≥ 0

f ' x = 3 x 2                                         ,       s e   x < 0 x 2 ' 1 + x 2 2               ,       s e   x ≥ 0

f ' x = 3 x 2                               ,       s e   x < 0 2 x 1 + x 4                   ,       s e   x ≥ 0

Na região de x < 0 temos que 3 x 2 é sempre positivo, então não há pontos críticos. Já no domínio de x ≥ 0 temos que o termo 2 x 1 + x 4 tem denominador sempre positivo e 2 x só será nulo em x = 0 , no resto será positivo também.

Conclui-se, há apenas um ponto crítico em x = 0 .

P o n t o   c r í t i c o : x = 0

Passo 5

( d - e ) Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo x < 0 bem como para todo x > 0 , sendo nula só em x = 0 . Ou seja, a função é sempre crescente, não havendo região de decrescimento, com o detalhe da derivada ser nula em x = 0 :

C r e s c e n t e :   R - 0     ;   D e c r e s c e n t e :   ∄

Passo 6

( f - g ) Nosso único ponto crítico é x = 0 . Como sua derivada é positiva antes desse ponto e depois dele nós vemos que esse ponto não configura nem máximo nem mínimo local!

N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l   ;   N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l

Passo 7

h - i Vamos calcular f ' ' x e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:

f ' ' x = 3 x 2 '                               ,       s e   x < 0 2 x 1 + x 4 '                   ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 6 x                                                                                                                               ,       s e   x < 0 2 x ' 1 + x 4 - 2 x 1 + x 4 ' 1 + x 4 2                   ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 6 x                                                                                           ,       s e   x < 0 2 1 + x 4 - 2 x 4 x 3 1 + x 4 2                   ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 6 x                                                     ,       s e   x < 0 2 1 - 3 x 4 1 + x 4 2                   ,       s e   x ≥ 0

f ' ' x = 6 x                                                     ,       s e   x < 0 2 1 - 3 x 4 1 + x 4 2                   ,       s e   x ≥ 0

No espaço onde x < 0   a derivada segunda é dada por 6 x , termo que é negativo para esse valor de x . Assim, côncavo para baixo para todo x < 0 .

Para x ≤ 0 a derivada segunda é 2 1 - 3 x 4 1 + x 4 2 , cujo denominador é sempre positivo. Assim, o sinal só depende de 1 - 3 x 4 .

1 - 3 x 4 = 0

x 4 = 1 3

x = - 1 3 4   ; x = 1 3 4

Pela configuração do termo 1 - 3 x 4 nós percebemos que entre - 1 3 4 e 1 3 4 nós temos a derivada segunda negativa e a f côncava para baixo. Fora dessa região a concavidade é para cima, sendo 0 em x = 1 3 4 . Como esse termo só é a derivada segunda em x ≥ 0 , vemos que a concavidade será para baixo em 0 , 1 3 4 e positiva no resto do domínio, sendo a derivada segunda nula em x = 1 3 4 .

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , 0 [   ∪   ] 1 3 4 , ∞ [   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a : [ 0 , 1 3 4 [

Passo 8

( j ) O único ponto em que a f ' ' x é nula é em x = 1 3 4 , sendo que em x = 0 a função muda de concavidade também, só que sem ser nula.

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = 0   ; x = 1 3 4

Passo 9

k Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:

- a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e   d e r i v á v e l   e m   x = 0

- lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x 2 = π 2   ; lim x → - ∞ ⁡ x 3 = - ∞   ;

- A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l : y = π 2   ; A s s í n t o t a   v e r t i c a l :   -

- P o n t o   c r í t i c o : x = 0   ;   N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l   ;   N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l

- C r e s c e n t e :   R - 0     ;   D e c r e s c e n t e :   ∄

- C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , 0 [   ∪   ] 1 3 4 , ∞ [   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a : [ 0 , 1 3 4 [

- P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = 0   ; x = 1 3 4

Vamos fazer o esboço:

Resposta

a   a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e   d e r i v á v e l   e m   x = 0

b   lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ x 2 = π 2   ; lim x → - ∞ ⁡ x 3 = - ∞   ;

c   P o n t o   c r í t i c o : x = 0  

d , e   C r e s c e n t e :   R - 0     ;   D e c r e s c e n t e :   ∄

f , g   N ã o   h á   m í n i m o   l o c a l   ;   N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l

h , i   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ] - ∞ , 0 [   ∪   ] 1 3 4 , ∞ [   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a : [ 0 , 1 3 4 [

j   P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = 0   ; x = 1 3 4

k   f i g u r a   a c i m a

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