Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f : R → R dada por f x = x 2 3 x - 2 2

  1. Determine os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente. Determine os pontos de máximo e de mínimo locais de f .
  2. Determine os intervalos onde f possui concavidade para cima e também onde possui concavidade para baixo. Determine os pontos de inflexão de f .
  3. Calcule os limites pertinentes a existência de assíntotas.
  4. Esboce o gráfico de f

Passo 1

Através da regra do produto e cadeia, obtemos:

f ' x = 4 ( 2 x 2 - 5 x + 2 ) 3 x 3

A função é crescente quando a primeira derivada é positiva e decrescente quando contrário. Então precisamos analisar o sinal da derivada, para isso, vamos montar um quadro de sinais bem bonito com os as partes de f ' ( x ) que trocam de sinal. Essas partes só poderão trocar de sinal ao passar pelas raízes, então determinemos:

2 x 2 - 5 x + 2 = 0 ⟹ x = 1 2 ,   x = 2

x = 0

Assim, testamos para cada região entre esses pontos:

Assim, a função é crescente para cima para x ∈ 0,1 / 2 e ( 2 , ∞ ) . É decrescente para baixo para x ∈ ( - ∞ , 0 ) e ( 1 / 2,2 ) .

Os pontos de zeros e indeterminação da derivada também serão os pontos críticos. Pelo teste da primeira derivada, vemos que esta era negativa a esquerda de x = 0 e positiva à direita, então trata-se de um ponto de mínimo, assim como em x = 2 . Do contrário, concluímos também que x = 1 / 2 é um ponto de máximo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela regra do quociente, obtemos:

f ' ' x = 8 5 x 2 - 5 x - 1 9 x 4 3

A função é côncava para cima quando a segunda derivada é positiva e será côncava para baixa do contrário. Então, temos que analisar o sinal da segunda derivada. Como todos os outros termos são sempre positivos, o sinal vai depender somente do polinômio de segundo grau: 5 x 2 - 5 x - 1

Que tem raízes:

x = 1 2 - 3 10 5 ,   x = 1 2 + 3 10 5

Testando nas regiões entre esses pontos obtemos:

Assim, a função é côncava para cima para x ∈ ( - ∞ , 1 2 - 3 10 5 ) e ( 1 2 + 3 10 5 , ∞ ) e côncava para baixo em ( 1 2 - 3 10 5 , 1 2 + 3 10 5 ) .

Nos pontos em que ocorre troca de concavidade, temos os pontos de inflexão, ou seja, em:

x = 1 2 - 3 10 5 ,   x = 1 2 + 3 10 5

Passo 3

Calculando o limite no infinito para determinar as assíntotas horizontais:

lim x → ∞ ⁡ x 2 3 x - 2 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 x - 2 2 → ∞ ⋅ ∞ → ∞

Logo, não há assíntota horizontal.

Não há ponto de indeterminação, e, portanto também não haverá assíntota vertical.

Quanto às assíntotas obliquas:

m = lim x → ∞ ⁡ f x x = x 2 3 x - 2 2 x = x - 2 2 x 1 3 = ∞

Portanto, não há qualquer assíntota.

Passo 4

Com os resultados obtidos, chegamos ao seguinte esboço:

Resposta

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