Seja f : R → R   uma função derivável até segunda ordem. O gráfico de sua derivada f ' está ilustrado abaixo. Assinale a afirmação FALSA

a) f tem um único ponto de mínimo local, que ocorrem em x = 1 .

b) A equação f ' ' x = 0   tem pelo menos duas soluções reais distintas.

c) f ' ' x > 0   em ] 0,2 [ .

d) Pode ocorrer de a equação f x = 0 ter exatamente uma solução real.

e) f ' ' ( x ) tem mínimo global.

Passo 1

a) Verdadeiro! Lembra que quando a primeira derivada é igual a zero nos mostra os pontos de máximo e mínimo? Lembra ainda que quando ela é negativaa significa que sua função estava decrescendo e quando ela era positiva ela estava crescendo? Então...

Observando o gráfico ali notamos que quando a função é menos que 1 ela é negativa e vira positiva, logo a função vinha decrescente, chega no mínimo e passa a ser crescente.

Passo 2

b) Observa que a f ' ' ( x ) é a primeira derivada dessa função desenhada ali acima! Ele nos fala que essa segunda derivada tem pelo menos duas soluções reais distintas. Isso significa que ela cruza o eixo x duas vezes. Esses sãos os pontos que representariam os máximos e mínimos da função desenhada acima. Como ela tem um máximo e um mínimo, logo f ' ' x terá duas soluções reais distintas.

Passo 3

c) f ' ' x > 0   em ] 0,2 [ .

Bom, lembra que f ' ' ( x ) é a primeira derivada da função desenhada acima, certo? Ele fala que entre 0 e 2 a f ' ' ( x ) é positiva, ou seja, nesse intervalo a função desenhada no enunciado tem que ser crescente! Conferindo lá, ela é sim!! Então tranquilo essa alternativa também.

Passo 4

d) Pode ocorrer de a equação f x = 0 ter exatamente uma solução real.

Observa que a nossa função desenhada acima vem de y = + ∞ , ou seja, f é crescente a vida toda, logo ela estava certamente acima do eixo x.

Do lado direito da função desenhada ela vai para x = ∞ sempre estando abaixo do eixo x, logo, a f será sempre decrescente.

Logo podemos afirmar que em algum momento ela vai cruzar o eixo x, logo ela certamente tem pelo menos uma solução real.

Passo 5

e) f ' ' ( x ) tem mínimo global.

Mais uma vez vamos lembrar que f ' ' x é a primeira derivada da função desenhada no enunciado.

Como ela vem decrescendo a vida toda, até seu ponto de mínimo, sabemos que ela vai estar começar então em y negativo. Aí a função desenhada chega no ponto de mínimo em x = 0 , logo esse é o ponto onde f ' ' ( x ) cruzaria o eixo x. A função desenhada acima fica crescente até x ≈ 3 , logo f ' ' ( x ) nesse intervalo fica acima do eixo x , ou seja, y positivo. Depois disso a função desenhada no enunciado só decresce, então ela fica sempre abaixo do eixo x, ou seja, em y   negativo.

Conslução, ela não vai ter um ponto de min, e sim apenas um de max.

Vai ser algo mais ou menos assim

Resposta

L e t r a   e )

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