Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

PUC-RJ - Cálculo 1 - P4 2010.1 – 3

Considere

f x = - x e x                       ,       s e   x 0 x ln x               ,       s e   x > 0

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x f x e lim x - f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, fa��a um esboço do gráfico de f .

Passo 1

( a ) Para descobrir se a função é contínua no x = 0 , temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em x < 0 e outra em x 0 :

lim x 0 - - x e x = - 0 e 0 = 0

Beleza, agora vamos ver o limite pela direita:

lim x 0 + x ln x = lim x 0 + ln x 1 x = -

Pela regra de l’Hôpital, isso aí dá:

lim x 0 + 1 x - 1 x 2 = lim x 0 + - x 2 x = lim x 0 + - x = 0

Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:

lim x 0 f x - f 0 x - 0 = lim x 0 f x + 0 e 0 x

= lim x 0 f x x

Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando x 0 + :

lim x 0 + f x x = lim x 0 + x ln x x = lim x 0 + ln x = -

Vamos fazer agora para x 0 - :

lim x 0 - - x e x x = lim x 0 - - e - x = - 1

Como vemos, os limites laterais da definição da derivada não bateram, o que significa que f x é não derivável em x = 0 .

Passo 3

( b ) Vamos calcular os dois limites pedidos:

lim x f x = lim x x ln x =

O outro limite agora:

lim x - - x e x = e - = 0

Vamos de L’Hôpital:

lim x - - x e - x L ' H lim x - - x ' e - x '

= lim x - - 1 - e - x = lim x - e x = e - = 0

Passo 4

( c ) Vamos derivar a função f x :

f x = - x e x                       ,       s e   x 0 x ln x               ,       s e   x > 0

f ' x = - x e x '                   ,       s e   x 0 x ln x '               ,       s e   x > 0

f ' x = - x ' e x + - x e x '                   ,       s e   x 0 x ' ln x + x ln x '               ,       s e   x > 0

f ' x = - e x - x e x                 ,       s e   x 0 ln x + x 1 x               ,       s e   x > 0

f ' x = - e x x + 1                 ,       s e   x 0 ln x + 1               ,       s e   x > 0

Na região de x 0 , temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo x < - 1 . Assim, a função será crescente em x < - 1 e decrescente para 0 x > - 1 , com ponto crítico em x = - 1 .

Quando x > 0 a derivada será positiva quando:

ln x + 1 > 0 ln x > - 1

x > 1 e

Dessa forma, há um ponto crítico em x = 1 e , com a derivada sendo negativa em 0 < x < 1 e e positiva em x > 1 e .

Conclui-se, há apenas dois pontos críticos, um em x = 1 e e outro em x = - 1 .

P o n t o   c r í t i c o : x = - 1   ;   x = 1 e

Passo 5

( d - e ) Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo x > 1 e e negativa para x < 1 e , com o detalhe da derivada ser nula em x = 1 e :

C r e s c e n t e : ] - , - 1     1 e , +       ;   D e c r e s c e n t e :   - 1 , 1 e [

Passo 6

( f - g ) Nosso único ponto crítico é x = 1 e . Como sua derivada é positiva antes desse ponto e depois dele nós vemos que esse ponto não configura nem máximo nem mínimo local!

x = 1 e   é   m í n i m o   l o c a l   ;   x = - 1   é   m á x i m o   l o c a l

Passo 7

h - i Vamos calcular f ' ' x e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:

f ' ' x = - e x x + 1 '                 ,       s e   x 0 ln x - 1 '               ,       s e   x > 0

f ' ' x = - e x ' x + 1 + - e x x + 1 '                 ,       s e   x 0 1 x                                                                                                             ,       s e   x > 0

f ' ' x = - e x x + 2           ,       s e   x 0 1 x           ,       s e   x > 0

Na região de x 0 temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo x < - 2 . Assim, a função será côncava para cima em x < - 2 e para baixo quando 0 x > - 2 , com ponto de inflexão em x = - 2 .

Quando x > 0 , o 1 x é sempre positivo. A concavidade é para cima em toda essa região

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o :   ] - 2,0   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a :   - , - 2     0 , [

Passo 8

( j ) Os únicos pontos em que a f ' ' x muda de sinal são em x = - 2 e em x = 0 :

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = - 2   ; x = 0

Passo 9

k Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:

- a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   p o r é m   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = 0

- lim x f x =   ; lim x - f x = 0   ;

- A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l : y = 0   ; A s s í n t o t a   v e r t i c a l :   -

- P o n t o   c r í t i c o : x = - 1   ;   x = 1 e   ;   x = e   é   m í n i m o   l o c a l   ;   N ã o   h á   m á x i m o   l o c a l

- C r e s c e n t e : ] - , - 1     1 e , +       ;   D e c r e s c e n t e :   - 1 , 1 e [

- C ô n c a v a   p a r a   b a i x o :   ] - 2,0   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a :   - , - 2     0 , [

- P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = - 2   ; x = 0

Vamos fazer o esboço:

Resposta

a   a   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   p o r é m   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = 0

b   lim x f x =   ; lim x - f x = 0   ;

c   P o n t o   c r í t i c o : x = - 1   ;   x = 1 e

d , e   C r e s c e n t e : ] - , - 1     1 e , +       ;   D e c r e s c e n t e :   - 1 , 1 e [

f , g   x = 1 e   é   m í n i m o   l o c a l   ;   x = - 1   é   m á x i m o   l o c a l

h , i   C ô n c a v a   p a r a   b a i x o :   ] - 2,0   ;   C ô n c a v a   p a r a   c i m a :   - , - 2     0 , [

j   P o n t o s   d e   i n f l e x ã o : x = - 2   ; x = 0

k   f i g u r a   a c i m a

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