Considere f definida por f x = e x + e - x

  1. Determine os pontos críticos de f .
  2. Em quais intervalos f é crescente?
  3. Em quais intervalos f é decrescente
  4. Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .
  5. Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .
  6. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?
  7. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?
  8. Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .
  9. Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x
  10. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

a )

Vamos começar pelos pontos críticos, para isso devemos achar a derivada de f

f ' x = e x - e - x

Vamos igualar essa derivada a 0

e x - e - x = 0

e x = e - x

e x = 1 e x

e 2 x = 1

Isso nos diz que

2 x = 0

x = 0

E temos um ponto crítico.

Passo 2

b )

Vamos analisar o sinal da derivada, para isso vamos primeiro dar uma arrumadinha nela

f ' x = e x - e - x = e x - 1 e x = e 2 x - 1 e x

E o sinal vai depender só do numerador, isso porque e x é sempre positivo. Para ser crescente devemos ter essa derivada sendo positiva, então

e 2 x - 1 > 0

e 2 x > 1

Isso implica que

2 x > 0

x > 0

E a função vai ser crescente quando x for positivo.

Passo 3

c )

Como já vimos a derivada depende só do numerador daquela expressão que achamos, então para a função ser decrescente devemos ter a derivada sendo negativa, então

e 2 x - 1 < 0

e 2 x < 1

Isso implica que

2 x < 0

x < 0

E a função vai ser decrescente quando x for negativo.

Passo 4

d )

Temos um ponto crítico, nele é onde temos troca de sinal da derivada indo de - para + , ou seja, pelo teste da primeira derivada esse ponto vai ser de mínimo local, vamos achar o valor de y desse ponto

f 0 = e 0 + e - 0 = 1 + 1

f 0 = 2

E o ponto 0,2 é um ponto de mínimo

Passo 5

e )

Como só temos um ponto crítico e esse ponto é de mínimo não vamos ter ponto de máximo local, outra forma de ver isso seria repara que a derivada nunca troca de positivo para negativo, que é onde acontece os pontos de máximo locais.

Passo 6

f )

Para olharmos a concavidade devemos achar a segunda derivada

f ' ' x = e x - - e - x = e x + e - x

E vamos ter

e x > 0

e - x > 0

Sempre, isso nos diz que a soma também vai ser sempre positiva, então

f ' ' x > 0

Sempre! Isso nos diz que o gráfico vai ser côncavo para cima em todos os reais

Passo 7

g )

Como vimos no passo anterior, o gráfico vai ser côncavo para cima em todos os reais, isso nos diz que ele nunca vai ser côncavo para baixo.

Passo 8

h )

Como não temos troca de concavidade não vamos ter pontos de inflexão

Passo 9

i )

Vamos agora achar esses limites que ele pediu

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ e x + e - x = e ∞ + e - ∞ = ∞ + 0 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e x + e - x = e - ∞ + e - - ∞ = 0 + e ∞ = ∞

Passo 10

j )

O gráfico vai ficar algo parecido com uma parábola, só que um ponto mais “gordinho”, como só temos um máximo e não temos nenhuma assíntota não precisamos das linhas auxiliares para esse gráfico.

Resposta

  1. 0,2
  2. x > 0
  3. x < 0
  4. 0,2
  5. Não tem
  6. Todo o gráfico
  7. Não tem
  8. Não tem
  9. lim x → ∞ ⁡ f x = ∞
  10. lim x → - ∞ ⁡ f x = ∞

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