Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Calculo 1 – UFPE – 2° EE

Considere a função f x = x - 1 2 e x .

  1. Determine as retas assíntotas verticais e horizontais (caso existam), calculando os limites necessários.
  2. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Determine os pontos de máximo e mínimos locais, caso existam.
  3. Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.
  4. Esboce o gráfico da função, destacando os pontos críticos e os pontos de inflexão, bem como as retas assíntotas.

Passo 1

É sempre bom começarmos as questões de gráfico determinando o domínio da função, mesmo que a questão não peça diretamente. Isto ajuda tanto na hora do esboço, quanto na identificação de assíntotas verticais, que é o que a questão nos pede na letra a), por exemplo.

Mas o que seria o domínio de uma função f x ? Basta você responder a seguinte pergunta: quais os possíveis valores que x assume? A resposta desta pergunta é o domínio da função. Tenta sempre lembrar dos casos que as funções não existem.

Alguns exemplos de valores de x que não pode acontecer são: divisões por zero; raízes de ordem par ( f x n , n é par) de números negativos e logaritmos de zero ou números negativos.

Então, começaremos verificando o domínio. Para isto, temos que nos perguntar. Será se existe algum valor de x que a função f x não existe em si? Percebam que a função f é dado pelos produtos de x - 1 2 e e x .

A primeira é uma função polinomial, e a segunda uma função exponencial. Ambas as funções existem para qualquer valor de x pertencente aos reais. Portanto, o domínio da nossa função são os reais.

Mas sim, o que isto vai nos ajudar na parte das assíntotas? A dica para checar se existe assíntotas verticais, é verificar se existe algum ponto que não pertence ao domínio da função (que nesse caso não existe). Caso isto ocorra, checaremos os limites laterais e verificaremos se o resultado é ± ∞ . Por exemplo,

lim x → a + ⁡ f x = ± ∞

lim x → a - ⁡ f x = ± ∞

Se algum deles fosse verdade, teríamos uma assíntota x = a .

Como não temos nenhum ponto que não pertence ao domínio, não temos assíntota vertical.

Só relembrando, a ideia de uma assíntota vertical é uma reta paralela ao eixo y . À medida que x → a , seja pelo lado que for, o valor da nossa f x tende a mais ou menos infinito (digamos que ela cresce bastante). Por causa deste comportamento, f x tende a tangenciar essa assíntota. Esta é a ideia de uma assíntota vertical

Agora, nos resta checar as assíntotas horizontais. E para isto, vamos verificar os limites no infinito. Se eles derem um valor L (não importa o número), teremos uma assíntota horizontal y = L (fazemos isso tanto para x → ∞ quanto x → - ∞ ).

Logo, checando os limites no infinito, temos:

lim x → ∞ ⁡ x - 1 2 e x = ∞ - 1 2 e ∞ = ∞ ⋅ ∞ = ∞

Já para x → - ∞ , temos:

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 2 e x = - ∞ - 1 2 e - ∞ = ∞ ⋅ 0

E assim, chegamos a uma indeterminação. Para resolvermos, vamos utilizar a regra de L’Hospital. Para isto, precisamos transformar nossa função para obter uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ . Para conseguirmos isto, vamos passar o termo e x para o denominador. Logo,

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 2 e x = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 2 1 e x = - ∞ - 1 2 1 e - ∞ = ∞ 1 0 = ∞ ∞

Agora sim, podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Relembrando, a regra de L’Hospital nos diz que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Isto somente se a condição da indeterminação for satisfeita. Portanto, o nosso limite pode ser escrito por:

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 2 1 e x = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 2 ' 1 e x ' = lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 1 - 1 e x

Substituindo o valor de - ∞ , temos

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 1 - 1 e x = - ∞ - 1 e - ∞ = - ∞ - 1 0 = ∞ ∞

Novamente, outra indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Repetindo a regra de L’Hospital, temos:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x - 1 - 1 e x =   lim x → - ∞ ⁡ [ 2 x - 1 ] ' - 1 e x ' = lim x → - ∞ ⁡ 2 1 e x

Substituindo o valor de - ∞ , temos

lim x → - ∞ ⁡ 2 1 e x = 2 1 e - ∞ = 2 1 0 = 2 ∞ = 0

Portanto, temos uma única assíntota horizontal dada por y = 0 .

E como funciona uma assíntota horizontal? A ideia é semelhante à da assíntota vertical, só que agora a nossa reta é paralela ao eixo x (horizontal). Por sinal, neste caso, a assíntota é o próprio eixo x .

Bom, continuando, à medida que x → - ∞ (caso desta questão, poderia ser x → ∞ para outra questão), a curva de f x tende a tangencia a reta y = 0 . Em outras palavras, f x → y = 0 . Percebam que a função tende a 0, e não é 0 !!!!!!!

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Passo 2

Agora, vamos analisar o intervalo de crescimento e decrescimento da nossa função, obter os pontos críticos da nossa função e analisar os pontos de máximo e mínimo locais.

Vamos começar pelos pontos críticos e intervalo de crescimento e decrescimento. Para ambos os casos, precisaremos obter a primeira derivada da função.

Mas antes de derivarmos, vamos nos relembrar a relação destes dois parâmetros que queremos determinar com a primeira derivada. Começando pelos pontos críticos, eles são todos os pontos x = c tais que a primeira derivada f ' x é igual a 0 ou não existe.

Portanto, precisamos derivar a função e verificar se esta derivada não existe em algum valor ou igualar a 0 e encontrar os valores de x que satisfazem (seria uma espécie da raiz da derivada).

Certo, isto é em relação ao ponto crítico. Mas os intervalos de crescimento e decrescimento. Como obteremos? Bom, já usamos f ' x = 0 né? Então... está faltando f ' x < 0 e f ' x > 0 . Pronto, essa é exatamente a ideia!

Se f ' x > 0 para um determinado intervalo, então a função é crescente nele. Se f ' x < 0 , então a função é decrescente.

Bom, agora podemos partir para a derivada da função em si. Neste caso, precisamos aplicar a regra do produto. Aplicamos esta regra para funções que são obtidas pelo produto de outras duas (neste caso, temos o produto de x - 1 2 por e x ).

Então, a regra do produto nos diz que a deriva de f x é a derivada da primeira função x - 1 2 ' pela segunda e x mais o produto da primeira função x - 1 2 pela derivada da segunda e x ' .

Portanto, temos:

f x = x - 1 2 e x

f ' x = x - 1 2 ' ⋅ e x + x - 1 2 ⋅ e x '

f ' x = 2 ⋅ x - 1 ⋅ e x + x - 1 2 ⋅ e x

Percebem que o termo e x aparece multiplicando os dois termos? Então, vamos coloca-lo em evidência. Logo,

f ' x = 2 ⋅ x - 1 + x - 1 2 e x

Mas não só era o termo e x que aparecia em ambos os termos. Também temos o termo x - 1 . Então, colaremos ele em evidência também! Portanto,

f ' x = 2 + x - 1 ⋅ x - 1 ⋅ e x

Reorganizando a nossa função, temos:

f ' x = 2 + x - 1 ⋅ x - 1 ⋅ e x

f ' x = x + 1 ⋅ x - 1 ⋅ e x

f ' x = e x x - 1 x + 1 = e x x 2 - 1

Para encontrarmos os pontos críticos, vamos fazer f ' x = 0 . Isto só ocorrerá quando x = 1 ou x = - 1 (fatorar a nossa função e escrever ela em termos de produto torna a análise muito mais fácil, fica a dica!)

Agora, vamos analisar o intervalo de crescimento e decrescimento. Para isto, fica mais fácil montarmos uma tabela e analisar o sinal separadamente de cada um dos termos que compõem a nossa f ' ( x ) . Depois, é só fazer o produto destes sinais.

Se fizermos isto, teremos a seguinte tabela:

Portanto, a função é crescente quando f ' x tem sinal positivo, o que acontece no intervalo - ∞ < x < - 1 e 1 < x < ∞ . E ela é decrescente no intervalo - 1 < x < 1

Para finalizarmos, vamos determinar os pontos de máximo e mínimo locais. Para isto, vamos utilizar o teste da primeira derivada. Começando pelo ponto crítico x = - 1 . Como a derivada f ' muda de sinal positivo x < - 1 para f ' negativo x > - 1 , então temos um ponto de máximo local.

Já para o ponto crítico x = 1 , temos o comportamento inverso. A derivada f ' muda de sinal negativo para positivo. Portanto, temos um ponto de mínimo local.

Passo 3

Para analisarmos concavidade e ponto de inflexão, temos que fazer um procedimento semelhante ao realizado no Passo 2. Só que agora, faremos para a segunda derivada da função, f ' ' x . Obtendo esta derivada através da regra do produto:

f ' x = e x x 2 - 1

f ' ' x = e x x 2 - 1 '

f ' ' x = e x ' ⋅ x 2 - 1 + e x ⋅ x 2 + 1 '

f ' ' x = e x ⋅ x 2 - 1 + e x ⋅ 2 x

f ' ' x = e x ⋅ x 2 + 2 x - 1

Vamos buscar as raízes do polinômio x 2 + 2 x - 1 para poder fatorá-lo. Portanto,

Δ = 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 1 = 8

x = - 2 ± 2 2 2 = - 1 ± 2

Portanto, fatorando o polinômio, vamos obter a seguinte função f ' ' x :

f ' ' x = e x ⋅ x - - 1 - 2 ⋅ x - - 1 + 2

Agora, vamos analisar o intervalo em que a função é côncava para cima ou para baixo. Para isto, fica mais fácil montarmos uma tabela e analisar o sinal separadamente de cada um dos termos que compõem a nossa f ' ' ( x ) . Depois, é só fazer o produto destes sinais.

Se fizermos isto, teremos a seguinte tabela:

Portanto, a função é côncava para cima quando f ' ' x tem sinal positivo, o que acontece no intervalo - ∞ < x < - 1 - 2 e - 1 + 2 < x < ∞ . E ela é côncava para baixo no intervalo - 1 - 2 < x < - 1 + 2

E em relação aos pontos de inflexão? A dica é analisar os valores em que a segunda derivada é nula, f ' ' x = 0 . Isto só ocorrerá quando x = - 1 - 2 ou x = - 1 + 2 (fatorar a nossa função e escrever ela em termos de produto torna a análise muito mais fácil, fica a dica!).

E depois? Precisamos analisar se o sinal de f ' ' x modifica ao passar por estes dois pontos. Em outras palavras, o ponto de inflexão é aquele no qual a concavidade da nossa curva muda.

Portanto, os pontos de inflexão são: x = - 1 - 2 e x = - 1 + 2

Passo 4

Para finalizar, vamos esboçar o gráfico da nossa f x utilizando o softwares para auxiliar. É importante ressaltar que os pontos de inflexão, os pontos críticos e as assíntotas devem ficar destacadas!

Então, vamos começar montando o gráfico devagar. Começamos desenhando a assíntota horizontal:

Percebam também que f x > 0 para qualquer valor de x (isto ocorre pois x - 1 2 é sempre positivo e e x também é sempre positivo). Então, a nossa função se aproxima da assíntota por cima f x > 0 . Logo, seria algo do tipo:

Uma coisa que ajuda na hora do esboço é calcularmos os valores de f x para os pontos críticos e pontos de inflexão (precisaremos destaca-los de qualquer forma). Então, relembrando, os pontos críticos são x = ± 1 e os pontos de inflexão são x = - 1 ± 2 .

Começando o cálculo pelos pontos críticos, se f x = x - 1 2 e x então:

f - 1 = - 1 - 1 2 e - 1 = 2 2 e - 1 = 4 e ≈ 1,47

f 1 = 1 - 1 2 e - 1 = 0 2 e - 1 = 0

Já para os pontos de inflexão, temos:

f - 1 - 2 = - 1 - 2 - 1 2 e - 1 = - 2 - 2 2 e - 1 - 2 = - 2 - 2 2 e 2,4 ≈ 1,04

f - 1 + 2 = - 1 + 2 - 1 2 e - 1 = - 2 + 2 2 e - 1 - 2 = - 2 + 2 2 e 2,4 ≈ 0,52

Não conseguir calcular estes valores não é problema. Lembrando que é um esboço, pelo comportamento (crescimento e decrescimento), vocês conseguem desenhar algo próximo do valor correto. Marcando estes pontos críticos, temos:

Para finalizarmos, é importante fazermos uma nova tabela compilando os dados dos passos 2 e 3 (crescimento/decrescimento e concavidade). Ao fazermos isto, fica muito mais fácil saber se a curva é côncava para cima e crescente num intervalo, ou se ela é côncava para baixo e decrescente, por exemplo. Portanto,

Pronto, com esta tabela acima e com aquele esboço inicial (fixados os pontos), agora é só os ligar e fazer o esboço do nosso gráfico. Sendo assim, temos o seguinte gráfico:

Resposta

  1. Não existem assíntotas verticais e a assíntota horizontal é y = 0 ;
  2. A função é crescente no intervalo - ∞ < x < - 1 e 1 < x < ∞ e ela é decrescente no intervalo - 1 < x < 1 . Os pontos críticos são x = ± 1 . O ponto x = - 1 é ponto de máximo local. Já o ponto x = 1 é ponto de mínimo local.
  3. A função é côncava para cima no intervalo - ∞ < x < - 1 - 2 e - 1 + 2 < x < ∞ . E ela é côncava para baixo no intervalo - 1 - 2 < x < - 1 + 2 . Os pontos de inflexão são x = - 1 ± 2 .
  4. O gráfico da função é:

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