a Esboce o gráfico de f x = x 2 + 2 e - x 2 .

b Para que valores de k a curva y = ln ⁡ x 2 + 2 - ln ⁡ k corta a reta y = x ?

Passo 1

a Nós temos que dividir a análise do gráfico em domínio, análise do crescimento, análise de concavidade e assíntotas. Começamos no domínio:

f x = x 2 + 2 e - x 2

Como a gente vê, não há fator limitante para o domínio. Nosso domínio vai ser:

D o m :   R

Há ainda uma relação de paridade, já que f x = f - x para qualquer valor de x . Isso significa que a função será espelhada em relação ao eixo y .

Passo 2

Vamos observar o crescimento da função; para isso analisamos o sinal da derivada primeira. Vamos derivar o termo pela Regra do Produto e da cadeia:

f ' x = x 2 + 2 e - x 2 ' = x 2 + 2 ' e - x 2 + x 2 + 2 e - x 2 '

= 2 x e - x 2 - 2 x x 2 + 2 e - x 2

= - 2 x e - x 2 x 2 + 1

Como a exponencial é sempre positiva e a parábola x 2 + 1 não possui raízes reais (pode aplicar Bhaskara para ver isso) e tem concavidade para cima nós vemos que o sinal da derivada vai depender só do - 2 x , que é positivo para x < 0 e negativo para x > 0 !

A função é decrescente em x > 0 e crescente em x < 0 . x = 0 será o único ponto crítico, que consistirá em um máximo local, já que a derivada é positiva antes e negativa depois.

Passo 3

Vamos olhar a derivada segunda agora e a concavidade. Vamos, novamente pela Regra do Produto:

f ' ' x = e - x 2 - 2 x 3 - 2 x ' = e - x 2 ' - 2 x 3 - 2 x + e - x 2 - 2 x 3 - 2 x '

= - 2 x e - x 2 - 2 x 3 - 2 x + e - x 2 - 6 x 2 - 2

= e - x 2 4 x 4 - 2 x 2 - 2

Para esse termo, se chamarmos x 2 = y , teríamos a parábola 4 y 2 - 2 y - 2 . Por Bhaskara, acharíamos as raízes y = - 1 2 e y = 1 . Como queremos só soluções reais, os valores de x que zeram esse termo serão:

x 2 = 1 → x = 1 ; x = - 1

Serão pontos de inflexão. Fazemos a seguinte divisão polinomial:

4 x 4 - 2 x 2 - 2 x + 1 x - 1 = 4 x 4 - 2 x 2 - 2 x 2 - 1

= 4 x 4 - 4 x 2 + 4 x 2 - 2 x 2 - 2 x 2 - 1 = 4 x 4 - 4 x 2 + 2 x 2 - 2 x 2 - 1

= 4 x 2 x 2 - 1 + 2 x 2 - 1 x 2 - 1 = 4 x 2 + 2

Então o termo da derivada segunda pode ser escrito como:

e - x 2 4 x 2 + 2 x + 1 x - 1

Podemos fazer o quadro de sinais para esse cara, já lembrando que a exponencial e o 4 x 2 + 2 são positivos e o sinal só depende do x + 1 e do x - 1 .

A gente vai reparar que a concavidade é para cima quando x ∈   ] - ∞ , - 1   [   ∪   ] 1 , + ∞ [ e para baixo quando x está em ] - 1,1 [ .

Ponto de inflexão em x = - 1 , x = 1 .

Passo 4

Assíntotas agora. As verticais estão relacionadas com as descontinuidades, ou seja, não teremos nenhuma delas para essa função.

Para assíntotas horizontais temos que lançar o limite para + ∞ e - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 2 e - x 2 = ∞ 0

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 2 e x 2 → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x e x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 1 e x 2 = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 2 e - x 2 = ∞ 0

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 2 e x 2 → L ' H lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 x e x 2

= lim x → - ∞ ⁡ 1 e x 2 = 0

Uma assíntota horizontal em y = 0 , para os ± ∞ . Assim, não haverão assíntotas oblíquas.

Passo 5

Agora reunimos as informações que já achamos:

- D o m :   R

- F u n ç ã o   p a r   f x = f - x

- A   f u n ç ã o   é   d e c r e s c e n t e   e m   x > 0   e   c r e s c e n t e   e m   x < 0

-   x = 0   c o n s i s t i r á   e m   u m   m á x i m o   l o c a l

- a   c o n c a v i d a d e   é   p a r a   c i m a   q u a n d o   x ∈   ] - ∞ , - 1   [   ∪   ] 1 , + ∞ [  

e   p a r a   b a i x o   q u a n d o   x   e s t á   e m   ] - 1,1 [

- x = - 1   e   x = 1   s ã o   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o

- A s s .   v . : - ; A s s .   h . : y = 0   ; A s s .   o . : -

Vamos para o esboço, sendo f 0 = 2 e f - 1 = f 1 = 3 e :

Passo 6

b Vamos igualar as equações para y :

ln ⁡ x 2 + 2 - ln ⁡ k = x

ln ⁡ x 2 + 2 k = x 2

x 2 + 2 k = e x 2

k = x 2 + 2 e - x 2

Repara é como se k fosse o f x que vimos na letra a . A imagem da função, segundo o gráfico, vai de 0 , sem nunca assumir esse valor, até 2 , valor máximo no ponto x = 0 . Ou seja, os valores de k que gerariam um encontro entre as curvas sãos os valores de k que correspondam ao seguinte:

0 < k ≤ 2

Resposta

a   f i g u r a   a c i m a

b   0 < k ≤ 2

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