Esboce o gráfico de

f x = x ln ⁡ x

Passo 1

Para começar, vamos determinar o domínio da função. As restrições são para x ≤ 0 , pois o logaritmo não existe, e no ponto x = 1 , em que a função não está definida, pois o denominador se torna nulo. Então o domínio é

. D = ( 0,1 ) ⋃ ( 1 , + ∞ )

Passo 2

Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.

f x = f ( - x ) ?

Não.

f - x = - f ( x ) ?

Não.

Passo 3

Agora temos que determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Essas ocorrem perto de pontos de descontinuidade da função. Nesse caso temos os pontos x = 0 e x = 1 . Vamos fazer os limites tendendo a esses pontos, então.

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 1 ln ⁡ x . x = 1 - ∞ . 0 = 0.0 = 0

lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x = + ∞

lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x = - ∞

Então x = 1 é uma assíntota vertical.

Agora vamos ver as assíntotas horizontais. Nesse caso, não temos que fazer com x → - ∞ pois a função não está definida para x < 0 .

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 1 1 x = + ∞

Então não há assíntota horizontal.

Passo 4

Agora vamos ver crescimento da função. Temos que derivar e ver onde a derivada é positiva e negativa.

f ' x = ln ⁡ x - 1 ln ² ⁡ x

Como ln ² ⁡ x > 0 o sinal da derivada só será afetado por ln ⁡ x - 1 . A figura abaixo demonstra o sinal da derivada.

Pelo estudo do sinal, concluímos que a função é decrescente para

x < e

e crescente para

x > e

Passo 5

Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.

f ' x = 0

ln ⁡ x - 1 ln ² ⁡ x = 0

x = e

Como a derivada muda de negativa para positiva em x = e , significa que esse é um mínimo local da função. Podemos descobrir se ele é um mínimo absoluto? Sim! Basta comparar o valor da função nesse ponto com os valores que da função nas fronteiras do domínio. Como

lim x → 1 + ⁡ x ln ⁡ x = + ∞

lim x → 1 - ⁡ x ln ⁡ x = - ∞

significa que x = e não é mínimo absoluto.

Passo 6

Estamos quase terminando. Falta estudar a concavidade da função. Para isso, temos que fazer a segunda derivada, lembra?

f ' ' x = ln 2 ⁡ x 1 x - ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 1 x ln 4 ⁡ x = 2 - ln ⁡ x x ln 3 ⁡ x

O sinal de f ' ' ( x ) está de acordo com o quadrinho abaixo:

  • Quando 0 < x < 1 e x > e ² : a função tem concavidade para baixo
  • Quando 1 < x < e ² : a função tem concavidade para cima

Os pontos x = 1 e x = e ² são pontos de inflexão.

Passo 7

Pronto! Agora podemos juntar todos os dados que descobrimos e fazer o esboço do gráfico, que fica assim:

Resposta

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