Esboce o gráfico de

f x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. As restrições são para x ≤ 0 , pois é quando logaritmo não existe. Então o domínio é

D = ( 0 , + ∞ )

Passo 2

Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.

f x = f ( - x ) ?

Não.

f - x = - f ( x ) ?

Não.

Passo 3

Agora temos que determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Essas ocorrem perto de pontos de descontinuidade da função. Nesse caso temos o pontos x = 0 .

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x ² → L ' H lim x → 0 + ⁡ - x 2 2 = 0

Não tem assíntota vertical.

Agora as assíntotas horizontais. Nesse caso, não temos que fazer com x → - ∞ pois a função não está definida para x < 0 .

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = + ∞

Também não há assíntota horizontal.

Passo 4

Agora vamos ver crescimento da função. Temos que derivar e ver onde a derivada é positiva e negativa.

f ' x = 2 x ln ⁡ x + x = x ( 2 ln ⁡ x + 1 )

Estudando o sinal da derivada temos o seguinte:

f ' x < 0 para 0 < e - 1 / 2 ⟹ DECRESCENTE

f ' x > 0 para x > e - 1 / 2 CRESCENTE

Passo 5

Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.

f ' x = 0

x = e - 1 / 2

Como a derivada muda de negativa para positiva em x = e - 1 / 2 , significa que esse é um mínimo local da função. Podemos descobrir se ele é um mínimo absoluto comparando o valor da função nesse ponto com os valores da função nas fronteiras do domínio. Como

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = 0

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ x = + ∞

significa que x = e - 1 / 2 não é mínimo absoluto, visto que a função tende a zero 0 < e - 1 / 2 .

Passo 6

Estamos quase terminando. Falta estudar a concavidade da função.

f ' ' x = 2 ln ⁡ x + 2 + 1 = 2 ln ⁡ x + 3

O sinal de f ' ' ( x ) se comporta assim:

f ' ' x = 2 ln ⁡ x + 3 > 0

x > e - 3 2

e

f ' ' x = 2 ln ⁡ x + 3 < 0

x < e - 3 2

Quando x > e - 3 2 a função tem concavidade para cima

Quando x < e - 3 2 a função tem concavidade para baixo

O ponto x = e - 3 2 é de inflexão.

Passo 7

Compilando todos os dados que descobrimos e o esboço fica assim:

Resposta

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