Seja

f x = x 2 e x

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo/minimo
  2. Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens a , b e c

Passo 1

Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da derivada de f .

f ' x = 2 x e x + x 2 e x

f ' x = 0

2 x e x + x 2 e x = 0

e x 2 x + x 2 = 0

x 2 + 2 x = 0

x = 0

x = - 2

Sabendo que x 2 + 2 x é uma parábola de concavidade para cima, podemos afirmar que:

f   é   c r e s c e n t e   d e r i v a d a   p o s i t i v a : x < - 2   e   x > 0

f   é   d e c r e s c e n t e   d e r i v a d a   n e g a t i v a : - 2 < x < 0  

Passo 2

Como a função muda de crescente para decrescente em x = - 2 , esse é um ponto de máximo da função. E como a função muda de decrescente para crescente em x = 0 , esse é um ponto de mínimo.

Passo 3

Temos que descobrir onde a função é côncava pra cima ou côncava pra baixo. Como fazer isso? Analisando o sinal da segunda derivada

f ' ' x = ( 2 e x + 2 x e x ) + ( 2 x e x + x 2 e x )

f ' ' x = e x ( 2 + 2 x + 2 x + x ² )

f ' ' x = e x ( 2 + 4 x + x ² )

O termo e x sempre é positivo, logo o sinal de f ' ' só depende da parábola 2 + 4 x + x ² . Vamos achar suas raízes.

2 + 4 x + x 2 = 0

x 1 = - 4 + 16 - 8 2 = - 4 + 2 2 2 = - 2 + 2

x 2 = - 2 - 2

Como essa parábola tem concavidade para cima, sabemos que:

f ' ' > 0 : x < - 2 - 2   e   x > - 2 + 2 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' < 0 : - 2 - 2 < x < - 2 + 2 → C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o  

Passo 4

Os pontos de inflexão são os pontos onde a função muda de concavidade. Nesse caso, são os pontos

x 1 = - 2 + 2

e

x 2 = - 2 - 2

Passo 5

Pra calcular as assíntotas horizontais temos que fazer os limites com x → ± ∞ . Vamos lá:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x   = ( ∞ ) ² ∞ = ∞

l i m x → - ∞ x 2 e x = ( ∞ ) ² 0

Podemos aplicar L’Hopital nesse limite se escrevermos dessa forma:

l i m x → - ∞ x ² 1 e x  

Aplicando:

l i m x → - ∞ 2 x - 1 e x =

l i m x → - ∞ - 2 x e x =

l i m x → - ∞ - 2 x 1 e x = ∞ ∞

Aplicando L’Hopital de novo:

l i m x → - ∞ - 2 - 1 e x =

l i m x → - ∞ 2 e - x = 2 0 = 0

Há uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 6

As assíntotas verticais só existem se a função tiver descontinuidade. Nesse caso, a função é contínua para todo x ϵ R . Por isso, não há assíntotas verticais.

Passo 7

Juntando tudo que descobrimos nos passos anteriores podemos esboçar o gráfico:

Resposta

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