Resolva em R as inequações abaixo:

e) x + 1 x 2 - 3 x + 2 ≥ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a inequação de segundo grau com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva.

Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada termo e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação.

Vamos lá!

Passo 2

Temos a inequação:

x + 1 x 2 - 3 x + 2 ≥ 0

Aqui nós temos uma equação do primeiro grau no numerador, que representa uma reta, e uma equação do segundo grau no denominador, que representa uma parábola.

Vamos começar analisando a equação do numerador e verificando os valores onde ela é igual a zero:

x + 1 = 0

x = - 1

Então, ela corta o eixo x em - 1 e nós temos a reta:

Repare que ela é positiva somente depois que passa por - 1 , então nós temos o intervalo positivo:

A = [ - 1 ,   + ∞ )

Passo 3

Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:

x 2 - 3 x + 2 = 0

Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara:

x = 3 ± 9 - 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) = 3 ± 1 2

Resolvendo:

x 1 = 3 + 1 2 = 2  

x 2 = 3 - 1 2 = 1

Já sabemos onde a função toca o eixo x (em x 1 = 2 e x 2 = 1 ) e que ela é uma parábola, então vamos esboçar seu gráfico:

Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa positiva até cortar o eixo x em 1 . Aí, ela passa a ser negativa até cortar o eixo x novamente em 2 . Depois de 2 , a função volta a ser positiva.

Então, vamos escrever intervalo onde nossa função é positiva. Só que agora esse intervalo vai ser aberto dos dois lados, porque o denominador de uma fração nunca pode ser zero, então não podemos considerar os zeros da função, beleza?

E aí fica assim:

B = 1 ,   2

Passo 4

Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação: x + 1 x 2 - 3 x + 2 ≥ 0

Vamos pegar os intervalos A e B que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:

Como a inequação nos diz que o quociente maior ou igual a zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:

S = [ - 1 ,   1 ) ∪ ( 2 ,   + ∞ )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = [ - 1 ,   1 ) ∪ ( 2 ,   + ∞ )

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