1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : x 2 3 + y 2 3 = 1

Passo 1

Bem, infelizmente aqui, não conseguimos desenhar essa curva facilmente, por isso vamos pular essa parte, ok?

Em relação a pararametrização, note que se fizermos

x = cos 3 ⁡ t

e

y = sin 3 ⁡ t

x 2 3 + y 2 3 = 1       →             cos 3 ⁡ t 2 3 + cos 3 ⁡ t 2 3 = 1     →

multiplicando esses expoentes para remover do parênteses...

cos 3 ⁡ t 2 3 + cos 3 ⁡ t 2 3 = 1     →         cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1

o que satisfez perfeitamente ;D

então

r → t = cos 3 ⁡ θ ,   sin 3 ⁡ θ

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = cos 3 ⁡ θ ,   sin 3 ⁡ θ →             r ' t = - 3 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ,   3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

r → t = cos 3 ⁡ θ ,   sin 3 ⁡ θ ,     0 ≤ t ≤ 2 π

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π