Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

Elaboração própria

Uma partícula se move a partir do ponto 1 ,   6 em cima da circunferência x 2 - 2 x + y 2 = 5 . Ela dá uma volta no sentido anti-horário, e depois duas no sentido horário. Parametrize a trajetória dessa partícula.

Passo 1

Vamos parametrizar a elipse, completando quadrados:

x - 1 2 - 1 + y 2 = 5

x - 1 2 + y 2 = 6

Então temos

x = 6 cos t + 1 y = 6 sen t

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Passo 2

Agora vamos identificar em que tempo t 0 a partícula inicia sua trajetória. Temos

x t 0 ,   y t 0 = 1 , 6

6 cos t 0 + 1 ,   6 sen t = 1 ,   6

Então

cos t 0 = 0 sen t 0 = 1 t 0 = π 2

Passo 3

Agora vejamos em que intervalo varia o parâmetro t .

A trajetória tem duas partes: na primeira a partícula dá uma volta (rotação de 2 π = 4 π 2 ), e na segunda ela dá duas voltas (rotação de 4 π = 8 π 2 ). E começamos em t 0 = π 2 . Logo:

  • 1ª parte da trajetória: t π 2 , 5 π 2
  • 2ª parte da trajetória: t 5 π 2 , 13 π 2

Passo 4

Agora temos que ver a questão do sentido de rotação. A 1ª parte se faz no sentido anti-horário, então mantemos o sinal positivo.

Agora, vamos analisar a segunda parte. No instante t = 5 π 2 , quando a partícula começa a se mover no sentido horário, ela se encontra no ponto 1 , 6 . Veja a figura abaixo.

Perceba que, nesse caso, tanto o deslocamento no sentido horário quanto no sentido anti-horário terão em comum a coordenada y . Ou seja, não iremos mudar a coordenada y da parametrização.

Porém, elas diferem na coordenada x . Se a partícula continuasse no sentido anti-horário, estaria indo na direção negativa do eixo x , porém no sentido horário ela estaria indo na direção positiva do eixo x . Logo, vamos inverter o sinal do cosseno na parametrização.

Então a parametrização da trajetória da partícula é:

x = 6 cos t + 1 y = 6 sen t ,   t π 2 , 5 π 2

x = - 6 cos t + 1 y = 6 sen t ,   t 5 π 2 , 13 π 2

Lembrando de não mexer no sinal do + 1 ali!! Só trocamos o sinal do cosseno e do seno!

Resposta

x = 6 cos t + 1 y = 6 sen t ,   t π 2 , 5 π 2

x = - 6 cos t + 1 y = 6 sen t ,   t 5 π 2 , 13 π 2

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