2b) Calcule a derivada:

f x = x + x 3

Passo 1

Pra resolver essa questão, temos que olhar com muito carinho pra função. Ela não é bem uma função logarítima né? Mas sim algo a mais. Veja bem, se chamarmos:

g x = x = x 1 2

h x = x + x 3

Podemos entender nossa f x como:

f x = g h x

Opa, e não é exatamente nesse modelo que cabe a regra da cadeia? Então aplicando a regra da cadeia, temos:

f ' x = g ' h x ∙ h ' x

Pra achar o termo g ' h x , primeiro vamos derivar g x :

g ' x = x 1 2 '

g ' x = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

E agora vamos por, no lugar de x , a função h x toda. Vamos ficar com:

g ' x = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x + x 3

Passo 2

Beleza, faltou só achar h ' x . Como:

h x = x + x 3

Po, derivar é bem direto ao ponto, vamos ter derivada de um polinômio! Sendo assim:

h ' x = x + x 3 '

h ' x = 1 + 3 x 2

Juntando tudo, fechamos a questão e a derivada de f x vai ser:

f ' x = 1 + 3 x 2 2 x + x 3

Resposta

f ' x = 1 + 3 x 2 2 x + x 3

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