Calcule a derivada da função dada:

y = e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x

Passo 1

Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto aqui. Não tem problema ter mais de um produto, o princípio é o mesmo:

y ' = e sen ⁡ 2 x ' ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x + e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x ' 3 x + e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x '

Vamos calcular cada derivada separadamente e depois substituir na expressão acima.

Passo 2

Vamos derivar e sen ⁡ 2 x , como temos uma função composta, vamos usar a regra da cadeia. Para tal, consideramos u = sen ⁡ 2 x , que é o que está dentro da exponencial, ficando: e sen ⁡ 2 x ' = d e u d u ⋅ d u d x

Sendo: d e u d u = e u ' = e u = e sen ⁡ 2 x

E:

d u d x = sen ⁡ 2 x '

Para essa derivada, temos outra função composta, então usamos novamente a regra da cadeia. Então, vamos usar w = 2 x , que é o que está dentro do seno: sen ⁡ 2 x ' = d sen ⁡ w d w ⋅ d w d x

Ficando:

d sen ⁡ w d w = sen ⁡ w ' = cos ⁡ w = cos ⁡ 2 x

d w d x = 2 x ' = 2

Ficando: sen ⁡ 2 x ' = 2 cos ⁡ 2 x

Substituindo:

e sen ⁡ 2 x ' = 2 e sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x

Passo 3

Vamos derivar ln ⁡ x 2 + 2 x , novamente temos uma função composta, então vamos derivar usando a regra da cadeia. Para tal, vamos considerar u = x 2 + 2 x , que é o que está dentro do ln. Ficando:

ln ⁡ x 2 + 2 x ' = d ln ⁡ u d u ⋅ d u d x

Sendo: d ln ⁡ u d u = ln ⁡ u ' = 1 u = 1 x 2 + 2 x

E:

d u d x = x 2 + 2 x ' = 2 x + 2

Substituindo:

ln ⁡ x 2 + 2 x ' = 2 x + 2 x 2 + 2 x

Passo 4

Finalmente, 3 x ' = 3 x ln ⁡ 3 . Substituindo tudo que encontramos até agora na expressão da derivada no passo 1 , ficamos com:

y ' = e sen ⁡ 2 x ' ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x + e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x ' 3 x + e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x ' =

y ' = 2 e sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x + e sen ⁡ 2 x 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 x + e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x ln ⁡ 3

Eu sei, eu sei. Ficou muito grande mesmo, mas é isso aí.

Resposta

y ' = 2 e sen ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x + e sen ⁡ 2 x 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 x + e sen ⁡ 2 x ln ⁡ x 2 + 2 x 3 x ln ⁡ 3

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