Calcule a derivada da seguinte função:

f x = x + x tg ⁡ x

Passo 1

Temos aqui uma função composta, então é interessante usar a regra da cadeia derivando a raiz externa e depois multiplicando pelo o que está dentro dela.

Para tal, vamos considerar u = x + x t g   x que é o que está dentro da raiz. A derivada será: f ' x = d u d u ⋅ d u d x

Vamos calcular cada uma das derivadas e depois substituir.

Passo 2

d u d u = u ' = 1 2 u = 1 2 x + x tg ⁡ x

d u d x = x + x tg ⁡ x ' = 1 + x tg ⁡ x '

Passo 3

Agora, x tg ⁡ x ' é outra função composta, então vamos usar a regra da cadeia novamente. Considerando w = x tg ⁡ x que é o que está dentro da raiz (argumento), temos:

x tg ⁡ x ' = d w d w ⋅ d w d x

Assim:

d w d w = 1 2 w = 1 2 x tg ⁡ x

E, pela regra do produto:

d w d x = x tg ⁡ x ' = x ' tg ⁡ x + x tg ⁡ x ' = tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x

Substituindo: x tg ⁡ x ' = tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x 2 x tg ⁡ x

Passo 4

Agora podemos finalizar o cálculo da derivada:

d u d x = x + x tg ⁡ x ' = 1 + x tg ⁡ x ' = 1 + tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x 2 x tg ⁡ x

Substituindo:

f ' x = d u d u ⋅ d u d x = 1 2 x + x tg ⁡ x ⋅ 1 + tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x 2 x tg ⁡ x

Pronto!

Resposta

f ' x = 1 2 x + x tg ⁡ x ⋅ 1 + tg ⁡ x + x sec 2 ⁡ x 2 x tg ⁡ x

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