Calcule a derivada das seguintes funções:

  1. f x = x sen ⁡ x x + e x
  2. g x = tg ⁡ ln ⁡ x - x

Passo 1

Vamos calcular a derivada da seguinte função:

g x = tg ⁡ ln ⁡ x - x

Para derivarmos essa função, temos que aplicar a regra da cadeia (derivada do que está por fora aplicada ao que está dentro vezes a derivada do que está dentro).

Para esta questão, a função de fora é tg ⁡ x (cuja derivada é sec 2 ⁡ x ). Vamos aplicar na derivada desta função a função ln ⁡ x - x e multiplicar pela derivada de ln ⁡ x - x . Portanto,

g ' x = sec 2 ⁡ ln ⁡ x - x ⋅ ln ⁡ x - x '

Percebam que fizemos exatamente o que descrevemos no texto. Novamente, derivada da função de fora aplicada a de dentro vezes a derivada da função de dentro.

Passo 2

Para finalizarmos esta questão, basta calcularmos a derivada de ln ⁡ x - x para substituir na relação do Passo 1. Portanto, temos:

ln ⁡ x - x ' = 1 x - 1 2 x

Sendo assim, a derivada da função g x é:

g ' x = sec 2 ⁡ ln ⁡ x - x ⋅ 1 x - 1 2 x

Resposta

g ' x = sec 2 ⁡ ln ⁡ x - x ⋅ 1 x - 1 2 x

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