Calcule:

  1. f ' x ,   Onde f x = tan ⁡ ( x 2 ) + l n ⁡ ( cos ⁡ ( x ) )

Passo 1

Letra (a) então... Esse problema basicamente nos pede a derivada dessa função, correto? Qual é o único detalhe que precisamos estar atentos? Isso mesmo, ela é formada por funções compostas, logo teremos que utilizar a regra da cadeia .

AH! Não se pode esquecer aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, teremos que calcular a derivada de t a n ⁡ ( x 2 )   , calcular a de l n ⁡ ( cos ⁡ x ) e depois apenas somar as duas, beleza?!

Passo 2

Vamos começar então com o termo t a n ⁡ ( x 2 )   :

A primeira coisa a se fazer aqui é identificar e avaliar as partes das funções compostas em externa, meio e interna:

  • A função mais externa é a raiz, pois é nela que tem tudo que precisamos. Antes de entrar no argumento temos uma função no meio que é a tangente. Depois temos por fim uma função mais interna de todas: o x 2 .

Percebeu como se avalia?

Passo 3

Depois de analisada e avaliada as parte como externa, meia e interna, a gente vai fazer o seguinte:

  • Nomear cada cara de uma letra. Ou seja, a função mais externa (a raiz) a gente chama de m , a do meio (a tangente) a gente chama de n e a mais interna ( x 2 ) a gente chama de p , dessa forma:
  • I                   m = n

    I I       n = tan ⁡ p

    I I I                     p = x 2

  • Agora a gente calcula a derivada dessas três novas equações que a gente determinou, ou seja:
  • I             d m d n = 1 2 n

    I I         d n d p = sec 2 ⁡ p

    I I I                   d p d x = 2 x

  • Agora, pela regra da cadeia (multiplicar os três caras de cima)...

d tan 2 ⁡ x d x = d m d x = d m d n ∙ d n d p ∙ d p d x = 1 2 n ∙ sec 2 ⁡ p ∙ 2 x

Substituindo esses termos n e p que a gente nomeou, ganhamos...

d tan 2 ⁡ x d x = 2 x ( sec 2 ⁡ x 2 ) 2 tan ⁡ ( x 2 )

= x ( sec 2 ⁡ x 2 ) tan ⁡ x 2

Passo 4

Agora fazendo as mesmas coisas para a função ln ⁡ ( cos ⁡ ( x ) ) , ou seja, Vamos identificar e avaliar as partes:

A função mais externa de todas (a que recobre tudo) é a l n que vamos chamar de m .

A função mais interna é a cosseno de x , e como o argumento está simples, não temos uma função do meio. Vamos chamar a função interna de n ,   logo:

m = ln ⁡ ( n )

n = cos ⁡ x

Passo 5

Derivando cada um dos termos

d m d n = 1 n = 1 cos ⁡ x

d n d x = - sen ⁡ x

E aplicando a regra da cadeia

d ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) d x = d m d x = d m d n ∙ d n d x

d ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) d x = - sen ⁡ x cos ⁡ x = - tan ⁡ x

Passo 6

Agora voltando para a derivada da função f , ou seja, somando tudo, obteremos

f ' x = d tan 2 ⁡ x d x + d ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) d x

f ' x = x ( sec ⁡ x 2 ) 2 tan ⁡ x 2 - tan ⁡ x

Resposta

f ' x = x ( sec ⁡ x 2 ) 2 tan ⁡ x 2 - tan ⁡ x

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